CHAPITRE VI. — INTERSECTIONS DE SURFACES COCRRES

génératrice G*, et supposons qu'on te fasse tourner autour de G, de manière <|uc tï' se rapproche de cette droite: le point N s'avancera en même temps vers .M. et le plan deviendra au même moment oscillateur à la courbe et tangent au cone. La même propriété existe évidemment pour le cylindre.

217. Supposons maintenant que l'on rapporte une courbe gauche a deux plans coordonnés, dont un. le plan horizontal, lui soit oscillateur en un point M ifig. i ao i, et considérons deux points A et B situés sur la courbe près de M et de cotés différente : ces points sont l'un au-dessus et l'autre au-dessous du plan horizontal

art. 214); leurs projections verticales A et IV sont l'une à gauche et l'autre a droite de la verticale du point M' : enfin la projection A . M B' doit être tangente à la ligne de terre XY qui est la projection de la tangente TM. Ces diverses conditions exigent que la ligne A'M'B' ait une inflexion en M'.

Sur un plan vertical perpendiculaire à b tangente TM, les projections A" et B sont d'un même coté de la verticale du point M". Les autres circonstances étant d'ailleurs les mêmes que précédemment, la courbe A' M"B" a nécessairement un rebroussement de première espèce, dont la tangente est X,Y,.

Dans ce dernier cas, la ligne de terre n'étant plus la projection de la tangente TM ", on pourrait douter qu'elle dut être tangente à la projection A"B": mais il faut remarquer que la droite TM est une génératrice du cylindre projetant, et qu'en vertu du théorème démontré à l'article 21(î, le plan horizontal qui est oscillateur de la courbe doit être tangent à ce cylindre.

En résumé, la projection d'une courbe gauche sur un plan perpendiculaire à l tut de ses plans oscillateurs présente une inflexion au point corres/tondant . Si le jdait devient perpendiculaire à la tangente de la courbe, i inflexion se change en tut rehaussement de première espèce. Ixi tangente à l'inflexion ou au rebroussement est la tract du plan osetdateur sur le plan de projection.

Le cylindre projetant a un rebroussement le long de la tangente TMM"; par conséquent : lorsque la directrice d'un cy lindre ( ou d'un aine) est tangente à tune des génératrices, la surface présente un rebroussement le long de cette drttite.

218. Quand on projette une courbe gauche sur un plan perpendiculaire à une droite qui la rencontre en deux points, on obtient une ligne ayant un point double, telle que « elle qui est représentée sur la figure 6y. Si l'on suppose que la sécante se meuve de manière que la corde interceptée par la courbe soit de plus en plus petite, la feuille formée parla projection sur un plan perpendiculaire sera de plus en plus resserrée, et enfin, quand la sécante sera devenue tangente, la feuille se trouvera réduite à un point, et la projection aura un rebroussement, comme nous l'avons reconnu par d'autres considérations.

Il est d'ailleurs facile de voir que, quand un cône a un rebroussement le long «l'une génératrice, une courbe tracée sur la surface ne peut traverser cette droik', sans avoir de rebroussement, qu'eu lui étant tangente.

S(i LIVRE II. - CYLINDRES, CONES ET SURFACES DE REVOLUTION.

2lî). Li s résultais que nous avons obtenus à l'article 217 sont soumis à certaines restrictions : si la courbe gauche n'était |)as traversée par son plan oscillateur au point considéré M fig. \ la projection A H serait entièrement «l'un même cote rie la tangente XV, et le rebroussement sur un plan perpendiculaire a la tangente TM" serait de seconde espèce.

Nous avons vu art. 21 1 qu'une courbe était d'un même côté de son plan oscillateur, quand, par suite de sa l'orme particulière, deux points de rencontre N et I'

fig. ■ iK se reunissaient au point de contact M, île sorte qu'elle avait en commun avec le plan quatre points réunis en un seul. Dans ce cas, la projection A h"

fin. 121 sur un plan perpendiculaire au plan oscillateur doit avoir sur la tangente XV quatre points reunis en un seul M : le contact est donc plus intime <l'un degré que dans le cas d'une inflexion, et le rayon de courbure est également infini, c'est-à-dire qu'un cercle tancent ii XY en M ne pourrait, quelque grand que fut son rayon, se trouver entre la courbe A H et la tangente, dans la partie voisine du point M'.

220. Les deux bras M'A et M IV fig. ii\ du rebroussement de seconde >•>>•■ e se superposent quelquefois: alors la projection s'arrête brusquement en M' . ioM> une partie parasite la continue si la courbe est géométrique.

Supposons, par exemple, que l'on cherebe l'intersection du cylindre vertical dont la trace horizontale est B ( fig. laa). avec le cylindre dont la trace est A sur le plan vertical, et qui est perpendiculaire à ce plan. On trouve une courbe fermée qui se projette sur les arcs /</««, et m'n'm\. Chaque point tel que e est la projection de deux points «le la courbe, et chacune des extrémités n, »,, m et m, correspond a un seul point, où la tangente de l'intersection esl perpendiculaire au plan de projection. On voit que des parties parasites nin t , m'jm, prolongent géométriquement les arcs utiles

221 . Si l'on projette une courbe ayant une branche infinie sur un plan P perpendiculaire à son asymptote MM, fig. i a3 ), la trace m de cette droite sera la projection du point de la courbe situé à l'infini.

Considérons un plan Q passant par l'asymptote, et faisons-le tourner autour de . ette ligne; lorsque le point X où il coupe la courbe aura disparu à l'infini, le plan sera oscillateur à l'inlini, et sa trace TT sera tangente à la projection AH de la courbe.

Si le plan Q continue a tourner, le point de section N reparaîtra sur l'autre bras de la courbe en revenant de l'infini: on voit que la projection AH ne présente pas «b- rebroussement. Pour qu'il y en eùl un, il faudrait que les deux bras fussent d'un même cote de l'asymptote, c'est-à-dire qu'il y eut inflexion à l'infini art. 18ô . Alors, si les deux parties qui forment le rebroussement se superposaient, le pied de l'asymptote serait un point d'arrêt de l'arc utile de la projection, et une partie parasite la prolongerait.