CHAPITRE VI. — INTEBSECriOSS DE SUKFACES COURBKS. - PL. XXXIII

222. La projection d'un»' asymptote, lorsqu'elle n'est pas réduite il un point, est asymptote de la projection île la courbe.

Si la projection d'une courbe a une asymptote rectiligne, le cylindre projetant aura un plan asymptote, mais l'asymptote de la courbe peut être tout entière à l'infini dans ce plan; il peut aussi arriver que la brandie intime de la projection soit parasite au delà d'un certain point. On voit qu'une courbe sans asymptote, et un nie une courbe fermée, peuvent avoir pour projection sur un plan une courbe avec asymptote.

Les notions que nous venons de donner sur la projection des courbes gauches sont très— importantes. Si on ne les possède pas bien, on sera souvent embarrassé, dans le tracé des épures, pour se rendre compte des formes des courbes projetées.

Intersections de cônes et de cylindres.

223. Four construire l'intersection de deux cônes, d'un cône et d'un cylindre, ou de deux cylindres, on emploie une série de plans auxiliaires disposés de manière à couper les surfaces suivant des génératrices. Ces droites donnent par leurs rencontres des points de la courbe de section. Nous examinerons successivement différents cas, de manière à donner la solution de toutes les difficultés.

I" Kxrupi K. — hitrtuctum d un iyltndf rl d'un aine. — Pénétration, — Otaries fermées.

{Planche XXXI//.)

22 i. I n cone a son sommet au point 1 S, S i/ig. 1 24 .' ; base bpqc. . . est sur le plan horizontal; on doit faire dansée corps un trou qui permette d'y passer

le cylindre dont la trace horizontale est m % nm et dont la direction est indiquée

par la droite M, B,, M', B, . On demande de tracer les projections des arêtes humées par l'intersection des deux surfaces.

Far le sommet S, S' du cone. nous faisons passer une droite iSK, S'K' 1 parallèle aux génératrices du cylindre, et nous déterminons sa trace horizontale K. Toute droite passant par ce point, telle queKr, peut être considérée comme la trace d'un plan qui contient la droite SK, S'K , et qui, par conséquent, est parallèle au cy lindre et passe par le sommet du cone. Les génératrices îles deux surfaces qui oui leur trace en m, «i, et h, c sont dans ce plan, et, par suite, se rencontrent. On obtient ainsi quatre points (B, B'), (C, C), (B,, B',j et C,, C,).

22.*». Si l'on veut avoir les points situés sur une génératrice déterminée, il faut opérer sur la trace du plan auxiliaire qui la contient. Ainsi, en joignant le point K au point /. trace de l'une des deux génératrices qui forment le contour apparent du cone sur le plan horizontal, on détermine sur la trace du cylindre les points » et 1 , qui font connaître les points I. et I., où la projection horizontale de la courbe louche la génératrice S/.

220. La tangente en un point quelconque 1 1$, B') est l'intersection des plans tangents aux deux surfaces le long des génératrices qui s'y croisent; elle passe donc par le point E. où leurs traces mK et bE se coupent : ses projections sont ainsi EB et EU.

< >n ne peut pas opérer de la même manière pour la tangente au point (C, C), parce que les droites mE et cii, traces des plans tangents, ne se rencontrent pas dans le cadre de l'épure ; alors nous coupons ces deux plans par un troisième contenant la ligne i SK, S K : sa trace est une droite KFG passant par Je point K, et d'ailleurs quelconque; ses intersections avec les [dans tangents sont la droite (FI, F T , parallèle aux génératrices du cylindre, et la droite GS, G'S' > passant par le sommet du cùne. Leur point de rencontre : I, 1 i appartient à la tangente.

Si cela avait été plus commode pour les tracés, on eut pu couper les plans tangents par un plan horizontal ou par un plan parallèle au plan auxiliaire dont la trace est Kf. Nous donnerons '.art. 235 et 250; des exemples de ces constructions.

'227. La droite Kn, tangente à la trace du cylindre, rencontre la trace du cone en deux points/} et q. Les génératrices qui percent le plan horizontal sur l'arc pq ne sont pas coupées par le cylindre ; la courbe ne s'étend donc de chaque coté que jusqu'aux droites Sp, S'// i, S^, Sy i, qui lui sont par conséquent tangentes. Il est facile de voir que les génératrices qui sont au delà rencontrent deux génératrices du cylindre, tandis que celles-ci coupent seulement celle qui est projetée sur nf>Q et n>Q'. *

La tangente K«, lait trouver sur le cône deux autres génératrices limites Sp,, S'//, , Sy,. S'y,). Les traces des plans auxiliaires qui rencontrent les deux surfaces sont comprises dans l'angle nKn,. La trace du cylindre est tout entière dans cet angle, et par suite toutes les génératrices du cylindre rencontrent le cone en deux points. L'intersection se compose ainsi de deux parties situées sur les secleurs coniques p,Sp et q,Sq; quand cette disposition se présente, on dit qu'il v a pénétration.

Quelquefois le deuxième plan limite n'est pas tangent à la même surface que le premier. Nous examinerons bientôt ce cas.

228. Nous avons représenté sur la figure i a5 la partie du cone qui est retranchée par le cylindre, ou, si l'on veut, le volume qui serait commun aux deux corps s'ils étaient l'un et l'autre en relief. Sur chaque projection, le périmètre se compose de quatre droites appartenant aux génératrices qui forment le contour apparent des surfaces, et de quatre arcs de la courbe d'intersection.

fl r ExMfPiP. — Intersection (te ilcnjc cônes. — Arrachement. — Courbe fermée. (Planche XX XIV.)

229. La figure i 26 représente un cone en relief, dans lequel une entaille est faite par un autre cone.

Les sommets et les traces horizontales des concs étant donnés, on détermine le