CHAPITRE VI. — INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES. — PL. XXXIV. 8f

point K où la droite qui passe par les sommets (S, S') et T, T'; perce le plan horizontal, et de ce point on mène diverses droites, traces de plans auxiliaires qui coupent les surfaces suivant des génératrices. On obtient ainsi autant de points qu'il est nécessaire pour tracer les projections de la courbe. Nous avons indiqué la construction pour le plan auxiliaire déterminé par la ligne K<\

230. La tangente au point (C,, C,j passe par l'intersection des droites cG et m, F, tangentes aux traces des cônes ' art. 226 . Comme ce point de rencontre est éloigné, nous coupons les plans tangents aux surfaces, le long des génératrices qui se croisent au point : C,, C,), par un plan parallèle à celui qui les contient. Sa trace est une droite FG parallèle à Kc; ses intersections avec les plans tangents sont des lignes (Fl, PI') et (GI.G'l'i respectivement parallèles à (m, S, m, S'), et à ( cT, c'T). Leur point de rencontre ( I, l'j appartient à la tangente (i).

231. Du point K nous traçons les droites Krf et Kn qui touchent une des bases et coupent l'autre : ce sont les traces des plans auxiliaires limites ; elles déterminent sur le cône plein deux génératrices limites (Se, SV), (Se,, S'e\), et deux autres lp, Tp'), (TV/, TV/' ) sur le cône creux. Ces quatre droites sont tangentes à la courbe dans l'espace, et par suite en projection.

Dans le cas que nous avons examiné précédemment, les génératrices du cône qui rencontraient le cylindre étaient réunies sur deux secteurs séparés. Ici cela n'a pas lieu : chaque surface est divisée par un plan limite en deux parties, dont l'une contient toutes les génératrices qui rencontrent l'autre surface. La courbe se compose d'une seule brandie : on dit qu'il y a arrachement.

232. La projection verticale de la courbe présente k sa partie inférieure une forme presque anguleuse : il y aurait rebroussement si les génératrices S'iï et TV qui forment contour apparent sur les deux surfaces étaient dans un même plan auxiliaire, c'est-à-dire si la droite déterminée par leurs traces horizontales u et v passait par le point K, car les plans tangents suivant ces génératrices étant perpendiculaires au plan vertical, la tangente de l'intersection au point de l'espace où elles se rencontreraient serait également perpendiculaire à ce plan (art. 217). On voit d'ailleurs que la projection verticale de la courbe devrait, sans traverser les droites TV et S' m', atteindre le point où elles se coupent : condition qui exige un rebroussement. Les constructions que nous avons données pour les tangentes des projections de la courbe ne peuvent pas être employées pour ce cas particulier.

(i) Il est évident que le» triangles FIG, m,C,c sont semblables et semblablement placés; la ligne C,I passe donc par le point de concours des droites m, F, cG, centre commun de similitude.

On pourrait également établir la construction exposée à l'article MO par des considérations de Géométrie plane, mais il faudrait s'appuyer sur un principe plus général que aelui des figures semblables. Nous n'insistons pas sur ces considérations, parce qu'elles sont peu dans l'esprit de la Géométrie descriptive. Il est d'ailleurs facile de voir qu'elles ne s'appliquent d'une manière directe qu'à la projection horirontale.