CHAPITRE VI. — LNTF.nSFXTlONS Dl. SimFACES COURBES. — Pl.. XXXVI

courbe au point ( D, D' , mais on les obtienl d'une manière suffisamment exacte, en c onstruisant par points, sur de petites longueurs, deux ans de la ligne qui est le lieu des traies horizontales des tangentes de l'intersection.

Il est facile de déterminer les traces 9 et - des droites qui touchent la courbe d'intersection aux points situés dans un plan auxiliaire dont la trace est une droite parallèle à ed et voisine de cette ligne. Quelques autres points déterminés comme ceux-ci permettent de tracer l'arc trrsur lequel les tangentes de l'arc : BC.,, B'C, ,i ont leurs traces. Celle de la tangente cherchée se trouve aussi sur ed; elle est donc au point 9.

On obtiendrait la tangente à l'autre branche du point double, en déterminant la courbe lieu des points de rencontre des droites -/u et fit d'une part, /ît et ç>? de l'autre: mais comme les points seraient éloignés, il faudrait élever le plan horizontal comme nous l'avons fait à l'article 235 (1).

Nous avons représenté sur une figure séparée le volume retiré du cylindre en relief. Sur chaque projection, le périmètre se compose de quatre droites et de quatre arcs de la courbe d'intersection.

IV ëxxmplk. — Intersection de deux cônes. — Arrachement. — Deux braneliet infinies.

{Planche XXXn.)

237. La courbe d'intersection a quelquefois des branches infinies. Nous allons étudier cette question dans le cas de deux cônes; nous avons ponctué l'épure en supposant qu'ils forment un seul corps.

J.a droite qui passe par les sommets perce le plan horizontal en un point K, d'où divergent les traces des plans auxiliaires.

Les points de la courbe étant donnés par les rencontres des génératrices des deux surfaces, pour que l'un d'eux se trouve à l'infini, il faut que deux génératrices soient parallèles. Afin de reconnaître si cette circonstance se présente, nous transportons l'un des cônes, celui de droite, parallèlement à lui-même, en faisant glisser son sommet (S, S i sur la droite (ST. S'T'j, jusqu'à ce qu'il se confonde avec le sommet il, T) de l'autre cone. Les génératrices parallèles des deux surfaces se superposent, de sorte que chaque point de rencontre des traces, après la translation, indique une couple de génératrices parallèles dans les cônes considérés.

L'ne génératrice quelconque i Sm,, S'm'J est transportée parallèlement à elle— même dans le plan auxiliaire qui la contenait; elle perce successivement le plan horizontal en différents points de la droite /m, M,, et elle s'arrête à la position T.M,,T'M' I ;. Les rayons vecteurs KM, et Km, de deux points homologues des traces du cone avant et après sa translation sont dans le rapporrconslant de KT à KS. Ces

(i) Nous verrons dans la lODK II une méthode directe pour construire le» (aDgentes au point don Me de la combe d'intersection de deux surface» <jui ont un plan tangent commun.

ia.

gi LIVRE II. — CYLINDRES, CONES ET SURFACES DE RÉVOLUTION.

courbes sont donc semblables et semblablcment placées, ce que nous pouvions prévoir 'art. 179); le point K est le centre commun de similitude; les points S et T sont homologues. On voit, d'après cela, que la nouvelle courbe M,J, est facile k construire.

La trace du cône transporté rencontre eu deux points I, et J, la trace du cône fixe. Nous menons les lignes 1,K et J, K, et nous déterminons deux couples de génératrices parallèles (SI, ST), (TI,, TT,) et(SJ.S'J'). (TJ„T'J' I ).

Si l'on fait passer un plan par la ligne des sommets, et qu'on le fasse tourner autour de celte droite de manière que sa trace approche de la position Kl, l'occupe et la dépasse, deux des génératrices qu'il contient tendront au parallélisme, l'atteindront, et prendront ensuite une convergence en sens contraire de la première. Le point mobile par lequel on peut concevoir que la courbe est décrite, s'éloigne donc, passe k l'infini, et réparait sur les nappes opposées des cônes.

La même circonstance se présente quand la trace du plan mobile arrive à la position KJ. Nous voyons aiusi que la courbe a deux branches infinies, autant qu'il y a de couples de génératrices parallèles.

'258. Les asymptotes de la courbe sont déterminées, comme ses autres tangentes, par l'intersection des plans tangeuts aux deux surfaces. La trace horizontale de l'une des asymptotes est au point i, où se renconlreul les tangentes li et 1,/, traces des plans tangents le long des génératrices parallèles ' SI, ST j et ! TI,, TT,); elle est d'ailleurs parallèle k ces génératrices, parce qu'elle les rejoint à l'infini. On peut donc tracer ses projections u, et iV. L'autre asymptote est obtenue de la

même manière.

Les cônes étant limités aux plans horizontaux Ff et x K', la courbe s'arrête aux points (X, X'), (fit p.'), (jj, ij') et (s, t"\. Nous l'avons tracée sur la projection horizonlale un peu au delà de ces points, mais avec une ponctuation différente.

259. Les traces des plans limites sont Knp et Kehi la base de chaque cône est touchée par une de ces lignes, et coupée par l'autre. Il y a donc arrachement, et l'intersection se compose, non pas de deux courites compagnes, mais d'une seule courbe ayant deux points à l'infini, ce.qui ne détruit pas la continuité. Si l'on rapporte sa projection horizontale k une origine fixe S. on pourra passer d'un point quelconque k un autre, en faisant varier le rayon vecteur et l'azimut d'une manière continue.

S'il y avait pénétration, l'intersection se composerait de deux courbes formant un groupe géométrique, mais entièrement distinctes, et ne se rejoignant pas à l'infini. Il pourrait y avoir des branches infinies sur l'une de ce» lignes seulement ou sur les deux.

*i M). La trace i d'une asymptote, étant le point de rencontre de deux tangentes aux bases, se trouve nécessairement eu dehors de ces courbes si ce sont des cercles, des ellipses ou d'autres lignes sans inflexion. Une asymptote est ainsi exté-