CHAPITRE VI. — INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES. — PL. XXXVII

rieure aux cônes; cependant elle peut se trouver sur l'un d'eux : cela arrive quand les génératrices parallèles sont dans un plan limite. Si, par exemple, les génératrices S» et'ip étaient parallèles, cette dernière serait asymptote de l'intersection. On le reconnaît par la construction : nous savons d'ailleurs que la courbe est touchée par les génératrices d'une surface situées dans les plans auxiliaires tangents à l'autre surface fart. 227). Quand le point d'intersection d'une de ces génératrices est à l'infini, elle devient asymptote.

2 H. Si la base du cône fixe et celle du cône transporte se touchaient en I,, les plans tangents le long des génératrices SI et TI, seraient parallèles, et l'asymptote disparaîtrait à l'infini. Ainsi tout point de rencontre des traces des cônes après la translation indique une branche infinie qui est hyperbolique ou parabolique, suivant que ces courbes se coupent ou se touchent. Dans ce dernier cas, il est facile de reconnaître que la convergence des génératrices dans les plans auxiliaires est, en général, dans le même sens en deçà et au delà de la position qui correspond aux génératrices parallèles. Les deux bras d'une branche parabolique sont ainsi sur les mêmes nappes des deux cônes (i).

242. Nous n'avons considéré que le cas où les traces horizontales des cônes smit des courbes fermées. Si elles ont des branches infinies, elles pourront se rencontrer à l'infini : cela a lieu notamment, quand elles ont des asymptotes parallèles. On fera alors passer un plan par chaque asymptote et par le sommet du cône correspondant. Ces plans seront tangents aux surfaces le long des génératrices horizontales et parallèles. Leur intersection sera asymptote de la courbe suivant laquelle les cônes se coupent.

Nous croyons ne pas devoir entrer dans plus de détails sur ce cas exceptionnel. On pourra lever les petites difficultés qu'il présente, en déterminant les traces des cônes sur un plan vertical convenablement choisi.

V» Exemple. — Intersection d'un c6ne et d'un cy lindre. — Deux branches infinirt.

(Planche XXXfU.)

- ï •"► Dans le cas d'un cône et d'un cylindre, pour que la courbe d'intersection ait des branches infinies, il faut que l'une des génératrices du cône soit parallèle au cylindre. Cette condition est remplie pour les surfaces représentées sur la figure 1 3 1 , la génératrice ( SK, S'K') du cône étant exactement parallèle aux génératrices du cYlindre.

(1) Par une discussion géométrique très-simple, on reconnaît que pour que les deux bras d'une branche parabolique ne soient cas sur les mêmes nappes, il faut que le contact des traces des cônes après la translation s'élève au second ordre.

On peut dire d'une manière plus générale, et sans rien spécifier sur la nature d'une branche infinie, que ses deux bras sont sur les mêmes nappes des cônes, quand les traces de ces surfaces, après la translation, ne se traversent pas au point commun.

Lne droite quelconque passant par le point K, telle que me, peut être prise pour trace d'un plan auxiliaire. Les génératrices du cylindre qui percent le plan horizontal en et en c rencontrent donc la génératrice du cône, qui a sa trace en m : un obtient ainsi les points i B, B' et > L, C ; de l'intersection.

Si l'on l'ail tourner la ligne me autour du point K. on obtiendra une série de points qui se relieront à B, B et à L, t; de manière à former la courbe. Quand le point m sera devenu voisin de K. la génératrice S/n, S'w' , rencontrera le cylindre en un point trés-éloigne: enfui, lorsque la génératrice mobile sera confondue avec SK. S K , la trace du plan auxiliaire sera la tangente IJ: on voit que les génératrices du cylindre qui passent par les points I et J rencontrent le cùne à l'infini.

La génératrice Sk du cone est dans tous les plans auxiliaires; elle rejoint a l'infini toutes les génératrices du cylindre, mais celles qui ont leur trace en I et en J sont les seules qui ne rencontrent le cone qu'à l'infini, et dont les points à l'infini fassent transition entre des bras indéfinis «le la courbe situés sur les deux nappes de la surface.

il suit de là que le nombre des branches infinies est égal à celui des points où la tangente de la trace du cone au point K rencontre la trace du cylindre. Sur la Jititin- i3», la tangente KT ne coupe pas la trace A, et la génératrice SK, S K , bien que parallèle au cy lindre, ne doit pas déterminer une branche infinie. On voit, en effet, que l'intersection ne s'étend que sur les génératrices qui rencontrent le plan horizontal aux différents points de l'arc cad compris entre les plans limites.

!£Î4. Revenons a la figure i3i : les asymptotes sont les sections du plan tangent au cone le long de la génératrice SK. S' K' , par les plans tangents au cylindre le long des génératrices (II, I'!*) et (ij, J'J'j, c'est-à-dire que ce sont ces génératrioea elles-mêmes.

Au premier abord, ce résultat parait en opposition avec celui que nous avons obtenu dans le cas de deux cônes fart. 240), mais il y a en réalité une concordance parfaite, pan e que la droite IKJ coupe une base et touche l'autre, et que par suite les génératrices qui déterminent les points à l'infini de la courbe, sont ■buis un plan qui a le caractère de plan limite.

Si l'on projette l'intersection sur un plan perpendiculaire au cylindre, on aura la section droite de cette surface. Les génératrices asymptotes sont les projetantes des points situés à l'infini art. îî'21 >. t tri voit ainsi qu'une courbe tracée sur un cylindre dont la directrice est fermée, ne peut avoir une asymptote rectiligne qui ne soit pas une p néralricc de la surlace.

'2 15. Le cas que nous venons de traiter n'est, à proprement parler, ni une pénét ration ni un arrachement: il se rattache cependant à cette dernière disposition, car l'intersection est formée d'une seule courbe composé*' «le deux parties qui se rejoignent à l'infini. Elle passe par les points i ' /., X' , /x'j, (ij, r,') et 1 1, «';, où les bases supérieure et inférieure des surfaces se rencontrent. Nous l'avons pro-