CHAPITRE VI. — I NT Kl!. SECTION. S DE SURFACES COURBES. — XXXVIII. çp

longée sur le plan horizontal au delà de ces points, niais avec une ponctuation dilfé renie.

2t(». Nous avons construit les tangentes aux points B, B', et (C, C}. Pour ce dernier, nous avons employé la méthode expliquée à l'article '2,'Hi. Les tangentes c(j et /«F, se rencontrant en dehors du cadre de l'épure, nous les avons arrêtées à une droite FKC, que nous considérons comme la trace d'un plan passant par le sommet du cône, et parallèle au cylindre ; ses intersections avec les plans tangents ii ces surfaces sont la droite FS, F' S' qui passe par le sommet du cime, et la droite GV, G'V) parallèle au cylindre : leur point de rencontre V, V i appartient à la tangente.

VI' Exemple. — Intersection île deux cône*. — Pénétration. — Deux branches infinies, et sur MM des p> ans de projection deu.r parties parasites. [Planche XXXI II l.)

'2i7. La droite DSTK, parallèle à la ligne de terre, est un axe des deux courbes GJFJ, et \iqYq,, traces horizontales des cônes. Les sommets sont dans le plan vertical, dont cette droite est la trace.

Nous déterminons d'abord le point K, d'où doivent diverger les traces des plans auxiliaires. Nous transportons ensuite le premier cône parallèlement k lui-même, de manière que son sommet S, S' coïncide avec le sommet T, T' du second art. îi.">7 . Sa nouvelle trace ge est semhlahle à l'ancienne; elle rencontre la trace du cone reste fixe en deux points I et I,, symétriquement placés par rapport à la droite DK : nous trouvons ainsi deux couples de génératrices parallèles Tl, SJ et Tl , , SJ,, et par suite deux asymptotes >$ti, wi,. Les génératrices qui ont pour projections horizontales les lignes Tl et Tl, sont représentées sur le plan vertical par une seule droite T' I'. Les génératrices correspondantes du second cone ont également une projection verticale commune S J'. Enfin une seule asymptote if est la projection des deux asymptotes de l'intersection.

Sur le plan vertical nous avons indiqué les deux nappes des cônes, mais sur le plan horizontal la ponctuation a été établie, dans la supposition que ces corps étaient limités à leur sommet.

'liS. Les deux cônes formant un système symétrique par rapport au plan vertical dont la trace est DK. on peut obtenir la projection verticale complète en ne considérant que l'une des deux moitiés de ce système, par exemple, celle qui est en avant du plan vertical DK. La courbe dans l'espace se trouve ainsi limitée à ce plan, ••t les points où elle le coupe sont des arrêts pour sa projection. Ces points a, fi , y' et <f sont ceux où se rencontrent les génératrices qui forment le contour apparent des surfaces.

Si les traces des concs sont des courbes géométriques, la projection de l'intersection sera également une courbe géométrique, et les points d'arrêt limiteront seulement ses parties utiles.

f)6 LIVRE II. — CYLINDRES, CONES ET SURFACES DE 1 ÉVOLUTION.

2iîL Quand deux surfaces du second degré ont un plan principal commun, la projection de leur intersection sur ce plan est unie section conique.

Dans le problème qui nous occupe, les traces horizontales des cônes sont un cercle et une ellipse, et par suite ces surfaces sont du second degré : le plan vertical de projection est d'ailleurs parallèle au plan principal KD: en conséquence, el d'après le théorème que nous venons de rappeler, la projection verticale de l'intersection est une section conique. Nous avons trouvé qu'elle avait une asymptote, c'est donc une hyperbole dont la seconde branche infinie est parasite.

Lorsqu'une hyperbole est coupée par une droite, les segments interceptés entre la courbe et ses asymptotes sont égaux. D'après cela, si nous prenons les longueurs y' a" et y'l3", respectivement égales a •{ a' et y" /S', nous aurons deux points a" et jS" de la seconde asymptote.

La courbe a deux parties parasites qui s'étendent l'une de -/ à &, et l'autre de JS' à a', en passant par l'infini. Nous les avons indiquées par un trait composé d'éléments de ligues séparés par deux points. On peut les construire d'après les propriétés spéciales de l'hyperbole.

2.'»0. Nous ne croyons pas nécessaire de revenir sur la détermination par points des projections de l'intersection. Les traces Km, Km, des plans limites touchent la base du premier cône, et coupent celle du second; il y a donc pénétration. L'une des courbes compagnes est la ligne fermée ( aQ-/Q,, ce'Q'y';.; l'autre a deux branches infinies.

Les génératrices limites ont leurs traces horizontales aux points />, q,p, et q,.

Observations générales.

2M. Nous avons étudié la question de l'intersection des cônes et des cylindres dans lous les cas réellement différents sous le rapport graphique, sauf celui OÙ une asymptote serait perpendiculaire à l'un des plans de projection, mais les détails que nous avons donnés à l'article 221 lèvent les difficultés que cette circonstance pourrait présenter. L'épure, du reste, est intéressante : c'est un exercice que nous recommandons.

On se propose quelquefois de déterminer le point le plus bas et le point le plus haut de l'intersection, c'est-à-dire ceux auxquels la tangente est horizontale. Il faut pour cela chercher un plan sécant auxiliaire qui coupe les traces horizontales des surfaces en deux points où les tangentes soient parallèles. Ou y parvient après un court tâtonnement, que l'on peut régulariser par une courbe d'erreur, dans le genre de celle que nous avons construite pour trouver les points de la section plane d'une surface de révolution, où la tangente est perpendiculaire à la ligne de terre (art. 19U). * En général, on emploie une courbe d'erreur pour les problèmes que l'on ne sait pas résoudre directement, mais dont on pourrait vérifier la solution si elle était connue.