CHAPITRE VI. — INTERSECTIONS DE SURFACES COI HUES

Nous n'avons pas donné de règle pour distinguer sur rhaquc projection de l'intersection, les parties vues de celles qui sont cachées; il ne serait peut-être pas facile d'en avoir une qui lut. applicable dans tous les cas, et d'ailleurs elle aurait peu d'utilité, car dans les exercices graphiques, ou doit toujours se rendre un compte exact des formes des objets représentés. Kn montrant, comme nous l'avons Jait sur les Planches XXIII, XXIV&XXV, une même intersection dans des hypothèses différentes sur la nature des cônes et des cylindres, nous avons donné des exemples qui indiquent comment ces questions doivent être analysées.

Si l'on a besoin de connaître les transformées de la courbe d'intersection, dans le développement des deux surfaces, on opérera comme il est expliqué aux articles 158 et suivants pour le cylindre, et à l'article 17S pour le cône.

Les données ne sont pas toujours disposées comme nous l'avons supposé. Dans quelques épures de stéréotomie, on détermine l'intersection de deux cylindres horizontaux dont on a les sections droites rabattues sur le plan horizontal. La marche à suivre consiste, dans tous les cas, à couper les surfaces suivant des droites, par des plans convenablement disposés. Les petites modifications qu'il faut apporter quelquefois aux tracés ne méritent pas de nous occuper actuellement.

252. On peut assez souvent simplifier les constructions en s'appuyant sur les propriétés spéciales des cônes et des cylindres que l'on considère. C'est ainsi que nous avons appliqué à l'article 2ii) un théorème relatif aux surfaces du second degré qui ont un plan principal commun. '

Voici, sur les mêmes surfaces, cinq autres théorèmes qui sont quelquefois utiles pour les tracés.

i°. Quand deux surfaces du second degré ont une courbe plane commune, elles se coupent suivant une seconde courbe plane, qui peut se confondre avec la première, et alors les surfaces sont tangentes l'une à l'autre en tous ses points, et qui peut aussi dét enir imaginaire.

2 0 . Quand deux surfaces du second degré sont tangentes l'une à l'autre en deux points non situés sur une génératrice recliligne commune, leur intersection est le système de deux courbes planes qui se croisent aux points de contact. Ces deux lignes d'intersection peuvent se confondre en une seule ligne de contact.

Quelquefois les surfaces n'ont en commun que les deux points de tangence. ■

11 résulte de ce théorème que quand deux surfaces du second degré se touchent le long d'une courbe, celte ligne est nécessairement plane. On dit alors que l'une des surfaces est inscrite, et l'autre circonscrite.

3°. Quand deux surfaces du second degré sont circonscrites à une même troisième surface de ce degré, leur intersection ' s'il y en a une) est le système de deux courbes planes, dont les plans se coupent suivant la mCme droite que les plans des courbes de contact. Quelquefois les surfaces sont simplement tangentes en deux points.

4°. Quand deux surfaces developpables du second degré (cônes ou cylindres) sont I. i3

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Ç)o" LIVRE H. — CYLINDRES, CONES ET SURFACES DE RÉVOLUTION.

tangentes l'une à l'autre le long d'une génératrice rectiligne, elles se coupent suivant une courf>c plane. Il est d'ailleurs évident que quand les surfaces en question sont deu.r cônes ayant nu me sommet, ou deux cylindres, la section {s'il y en a une ) est le système de deux droites situées dans un plan.

i". JJeux surfaces du second degré semblables et semhlablement placées, ne peuvent se couper que suivant une courbe plane (i).

Intersection d'une surface de révolution et d'un <ylindre. { Planche XXXIX.)

*233. La trace horizontale du cylindre est la courbe GG,; la droite (Or,, 0\r\ , fait connaître la direction de ses génératrices. La surface de révolution est donnée par son axe, qui est vertical, et par sa méridienne principale. Nous avons ponctue la ligure en supposant que le cylindre était enlevé.

Un plan horizontal C'E'O'j coupe la surface de révolution suivant deux parallèles dont il est facile d'obtenir les projections horizontales, et le cylindre suivant une courbe identique a la directrice GG, : nous pourrions tracer cette courbe sur le plan horizontal, et déterminer son intersection avec les parallèles; mais la construction serait minutieuse, et ne donnerait quelque exactitude que si elle était faite avec beaucoup de soin. Il vaut mieux opérer sur la directrice GG, elle-même, en reportant les parallèles dans la position convenable.

2.'il. Nous amenons le plan CE O', sur le plan horizontal en faisant mouvoir tous ses points sur des droites parallèles aux génératrices du cylindre. La section faite dans cette surface vient se placer sur la trace GG, ; le centre (0, (i\ ) des parallèles C'O', cl E'O'j, suit la ligne (Or,, 0.,r',j, et se place en r t : si de ce point comme centre, et avec un rayon égal à 0',C, nous traçons un arc de cercle, les points m etn, où il rencontre la trace GG,. appartiendront à l'intersection; il n'y aura plus qu'à les reporter en (2, 3') et en (i4, «4')« sur ' e parallèle considéré, par des génératrices du cylindre.

Les lignes m: 2 et n. 14 sont égales à r,0, longueur de la projection horizontale de la partie d'une génératrice du cylindre comprise entre le plan horizontal de projection et le plan auxiliaire. On peut donc obtenir les points 2 et 14 avec exactitude, et sans tracer le parallèle sur la projection horizontale, en portant la longueur r,0, à partir des points m et n sur des droites parallèles à r, 0. Les points 2 et 14 sont ensuite relevés sur le plan vertical, en 2' et i4'.

On obtient les points de l'intersection situés sur le deuxième parallèle contenu

(1) On peut voir pour le» premiers théorèmes les démonstrations de M. Chaslcs {Correspondante tur l'École Polytechnique ; t. III, p. 3a8 et suivante»), ou celles de M. Poncelet ( Traité tics PnffUUt • (•mjectM-s; arl. G 00, OUI et OOS). Pour le cinquième on remarquera que, d'après la supposition faite sur les surfaces, les termes du second degré ont dans les équations des coefficients proportionnels, et peuvent par suite être élimines tous ensemble.