CHAPITRE VI. — INTERSECTIONS DE SURFACES COURUES. — PL. XLI

<lans le plan auxiliaire, en traçant un cercle du point r, comme centre, et avec un rayon égal à 0' 2 E'. Cette construction n'est pas indiquée sur la figure.

255. Nous déterminons la tangente au point (i/j, i4'), en construisant, sur le plan horizontal T'L', les traces des plans tangents à la surface de révolution et au cylindre. Si nous supposons que la tangente CTdu méridien principal soit entrainéc dans le mouvement de révolution, sa trace T décrira un arc de cercle autour du [)ûintO, et sera en / sur la droiteO.14 quand le point (C, C) se trouvera en (i4-i4'j- La trace du plan tangent à la surface de révolution est la droite tL perpendiculaire à 0/. La trace du plan tangent au cylindre passe par le point g, ramené de g, et est parallèle à la tangente de la trace GC, au point n.

Intersection d'une surface de rés olution et d'un cône. [Planche XL.)

25(>. Quand la surface de révolution est coupée par un cône, on projette sur le plan horizontal les sections horizontales auxiliaires des deux surfaces, non plus par des obliques parallèles, mais par des droites qui divergent du sommet du cône. Les sections du cône sont projetées sur sa trace, et celles de la surface sur des cercles dont on détermine facilement le centre et le rayon.

Le point (S, S ) est le sommet du cône, et la courbe GG, sa trace horizontale.

Considérons le plan horizontal B'O' : les traces K et R des droites (SO, S'O') et (SB, S'B'j, qui venant du sommet (S, S'), passent l'une parle centre et l'autre par UD point quelconque du parallèle, sont le centre et l'un des points de la projection conique de ce cercle (art. 185 note). Le parallèle ainsi ramené sur le plan horizontal, rencontre en n et en m la trace GG, : il n'y a plus qu'à reporter ces points dans leur véritable position par les génératrices (Sn, SV) et (S/w, S'w'j; on trouve les points (9, 9') et (3, 3'), qui appartiennent à l'intersection.

Nous avons ponctué la tigure en supposant que le cône était enlevé.

La construction de la tangente ne présente aucune difficulté.

Le point le plus haut, le point le plus bas et ceux qui sont sur les contours apparents du cône, sont obtenus par l'ensemble du tracé de la courbe résultant de la détermination d'un grand nombre de points. Si l'on veut opérer avec beaucoup d'exactitude, on construira des courbes d'erreur.

Intersection de deux surfaces de résolution dont les axes se rencontrent. (Planche XLI.)

257 Nos plans de projection sont, l'un parallèle aux deux axes, l'autre perpendiculaire à l'une de ces droites : ce dernier est considéré comme horizontal.

Les axes se coupent au point ( 0, 0'). Les lignes G'B'R'E' et /'G'E'H' sont les méridiennes principales des deux surfaces : les axes sont (0, l\'<y) et (OFJ, O'H').

Deux surfaces de révolution qui ont le même axe se coupent suivant un ou plusieurs cercles situés dans des plans perpendiculaires à l'axe. Donc si nous preuons

pour surfin es auxiliaires des sphères ilont le point | 0. O' ) soit le centre, leurs intersections avec les surfaces fie révolution formeront deux séries de cercles qui se projetteront sur le plan vertical suivant des droites respectivement perpendiculaires aux deux axes.

L'n arc de cercle B7/ N" décrit du point O' comme centre avec un rayon arbitraire peut être considéré comme faisant partie, sur le plan méridien principal, de la trace d'une sphère qui a son centre au point 0, 0' , et qui coupe les deux surfaces considérées, suivant des cercles projetés sur les droites B IT cl h' fi' respectivement perpendiculaires à O'R' et O H'. Le point M', où ces deux lignes se coupent, appartient donc à la projection verticale do l'intersection cherchée. On en déduit facilement sur le plan horizontal les points correspondants M et M, de la projection de la courbe art. 189).

En traçant différents arcs convenablement espacés, on obtiendra autant de points qu'il sera nécessaire pour bien déterminer l'intersection. On devra chercher ceux qui appartiennent au parallèle C'C, contour apparent, sur le plan horizontal, de la surface dont l'axe est vertical.

La méthode que nous venons d'exposer est, au fond, la même que celle que nous avons employée pour déterminer l'intersection des cônes et des cylindres, mais les surfaces auxiliaires sont des sphères et non des plans. On remarquera encore que la facilité des constructions exige que les données soient disposées d'une manière spéciale.

2.'»8. La courbe dans l'espace est symétrique par rapport au plan vertical J II : elle le rencontre normalement aux points : E, E' , et G, G' ). Par suite, la partie utile de sa projection verticale s'arrête brusquement aux points E' et G', et des parties parasites la prolongent art. 220 et 218 i.

Si un cercle auxiliaire coupe les méridiennes en des points D' et J' situés en deçà de G', la construction fera trouver un point N extérieur à la circonférence, et situe par conséquent sur les prolongements des cordes. Aucun point ne lui correspond sur la projection horizontale : il appartient à la partie parasite. On peut en général prolonger ainsi la courbe G'E' au delà des extrémités de l'arc utile.

Le rayon du plus petit cercle qui rencontre les méridiennes est 07'; celui du plus grand O R'. Les points P' et Q' qui leur correspondent sont les derniers que uous puissions obtenir par la méthode générale qui fait connaître la partie utile de la projection verticale de l'intersection. L'arc parasite s'étend au delà, si les méridiennes sont des courbes géométriques; mais on ne peut le tracer qu'autant que l'on tonnait la loi de laur génération i).

(i) En prenant pour méridiennes de» courbes du second degré, M. Puncclet a montre qu'on pouvait déterminer de* points au delà des extrémités V et Q', en construisant des sécantes idéale» communes aux cercles auxiliaires et aux méridiennes ( Traité ,les Propriétés pmjectivet; art 00 et 61