CHAPITRE VF. — INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES. — PL. XL!. IOI

Sur notre épure, les méridiennes sont des ellipses, elle plan vertical SU peut élit? considéré comme principal par rapporta chacune des deux surfaces. L'are P'Q appartient donc à une courbe du second degré ;'art.2i9,, mais on compliquerait inutilement la question si l'on voulait avoir égard a cette circonstance pour son trace i

2j0. La tangente en un point quelconque M, M ) est l'intersection des plans tangents aux deux surfaces.

Si nous supposons que la tangente B'S' du méridien principal au point B' soit eqlrainée dans le mouvement de révolution autour de l'axe, la trace S décrira un arc de cercle autour du point 0, et sera en S, sur la ligne OM quand le point (H, B" » se trouvera en (M, M' . La trace du plan tangent à la première surface de révolution est la ligne S, 1, perpendiculaire à OS,.

Nous ne pouvons pas employer cette construction pour le plan tangent à la seconde surface, vu la position inclinée de l'axe: mais on arrive presque aussi facilement au résultat en déterminant la normale et lui menant un plan perpendiculaire.

I l) I.a courbe est une hyperbole, parce que le» deux ellipsoïdes sont allongé*.; elle serait également une hyperbole, si les ellipsoïdes étaient tous les deux aplatis. On trouve une ellipse quand l'une de ces surfaces est allongée et l'autre aplatie, une parabole lorsque l'une d'elles est une sphère, et une droite dans le cas de deux sphères. Quand les axes sont parallèles, la courbe est une parahole, et une ligne droite si de plus les ellipses méridiennes sont semblables.

Du centre des sphères auxiliaires on peut abaisser sur chaque méridienne deux normales (réelles ou imaginaires], en outre de celles qui sont confondues avec l'axe de révolution. Quand ces normales sont de même longueur pour les deux courbes, l'hyperbole se change en deux droites, ou l'ellipse eu un point. On voit, en effet, qu'une même sphère est alors circonscrite aux deux ellipsoïdes (art. Ï32, 3°). Celte sphère peut avoir un contact idéal avec une des surfaces, ou avec les deux ; elle peut aussi devenir imaginaire.

M. Catalan a démontré que quand chacune des ellipses méridienne-, a un de ses foyers au point de rencontre des axes, l'intersection est le système de deux droites. La règle générale que nous venons de donner est satisfaite dans ce cas, car les normales imaginaires abaissées de l'un des loyers d'une section conique sur la courbe ont une longueur nulle, et par suite ces lignes sont égale» dans les deux ellipses. La sphère circonscrite est alors réduite a un point.

En exprimant analytiquement la condition que nous avons donnée, on la dégage de la considération de normale» qui peuvent être imaginaires. Celte condition est indépendante de l'angle des axes, comme celles qui déterminent la nature de la courbe.

Si l'un des ellipsoïdes glisse sur son axe, la projection verticale de l'intersection se transporte eu restant semblable à elle-même, et scmblablement placée, et son rentre décrit une ligne droite. Nous ferons enfin remarquer que la courbe passe par les points d'intersection des méridiennes, et qu'elles par conséquent avec ces lignes les relations qui existent entre les sections coni pies qui ont quatre points communs (M. Lamé : Examen des Afférentes méthodes..., p. 3.j ; M. Poncelel : Prop. projeet., p. ai6). Si l'on veut déterminer ses axes, on pourra employer les méthodes générales données |>ar M. Poncelet {Prop. prqjeet., art. 544 et suiv., 594 et suiv. ).

Ces diverses considérations ont peu d'importance pour les traces, mais nous avons cru devoir don ncr quelques indications sur une question intéressante à plusieurs points de vue.

loi LIVRE II. — CYLINDHKS, CONES ET SUHFACES DE RÉVOLUTION.

La normal»- à la méridienne en V rencontre l'axe au point k , que nous ramenons horizontalement en k. Le point {k,k' ) est le sommet du cône formé par les normales à la surface, le long du parallèle donl le centre est en fi' i art. 180). La droite (£M< X'M'i est donc normale au point (M, M';.

.Nous laisons maintenant passer par ce point une droite parallèle à la trace verticale du plan tangent cherché art. il;; ses projections sont les lignes Mi et M7 , Tune parallèle à la ligne de terre, et l'autre perpendiculaire à M' k' : elle perce le plan horizontal en t. La trace du plan tangent passe par ce point et est perpendiculaire à MA. Le point I, où se rencontrent les traces des plans tangents, appartient à la tangente, qui est ainsi (MI, MT).

2(50. La courbe EC ayant été déterminée par des constructions faites uniquement sur le plan vertical, la tangente MT doit pouvoir être obtenue sans l'intervention des projections horizontales.

La tangente de l'intersection au point quelconque (M, M') est perpendiculaire à la normale de chacune des surfaces, et par suite au plan de ces deux droites : la projection de la tangente est donc perpendiculaire à la trace de ce plan. Les sommets des cônes formés par les normales le long des parallèles B'B' et b' sont aux points K'ct if, et par conséquent la droite K'k' est la trace du plan des normales sur le plan méridien principal. On obtient la projection verticale de la tangente, en menant du point M une perpendiculaire M 1' à K'*'.

Cette construction peut être appliquée aux points extrêmes E' et G', et même à ceux qui sont situés sur les arcs parasites G'P* cl E'Q'. Ainsi les normales des méridiennes aux points D' et d rencontrant les axesen V'et v\ la tangente de la courbe en N' est perpendiculaire à VV.

La tangente Ml peut être déterminée par la condition d'être perpendiculaire à la trace horizontale du plan des normales. Comme cette droite serait éloignée, nous allons opérer sur un plan horizontal convenablement élevé, celui donl la trace verticale est .ry. Ce plan est rencontré au point iu, u') par la normale (Mk, M'A'), et en {k,, k\) par la droite {Ok, ItL'k'), qui passe par les points où les normales coupent les axes. La trace du plan des normales est donc «X-, ; la tangente MI est perpendiculaire a celle droite.

Pour déterminer la droite uk, nous ne nous sommes pas sen t de la trace horizontale de la normale à la première surface, parce que ce point ne serait pas obtenu avec précision.

201. Si l'on veut avoir l'intersection de deux surfaces de révolution dont les axes ne se rencontrent pas. on prendra l'un des plans coordonnés parallèle aux axes, et l'autre perpendiculaire à l'un d'eux, puis on fera des sections par une série de plans parallèles à celui-ci On obtiendra dans l'une des surfaces des cercles, et dans l'autre des courbes que l'on construira par points (art. 102). L'opération est minutieuse, mais elle ne présente aucune difficulté.