CHAPITRE 1". — DES LIGNES DtlOITES ET DES PLANS. — Pl.. XLII. loS

projection; son produit par l'intervalle est égal à l'unité, ce qu'on exprime en disant que la pente et l'intervalle sont réciproques.

Graduer une droite dont on connaît la projection ah, la pente 0,70 et l'un des points a [fig. ^o).

Désignant toujours l'intervalle par la lettre i, nous avons

1 = Z^jZ - 1 " °' 6 ? * = ° m » 9 e -

Nous mettons la cote i5 à un point situé à 0,96 du point a dont h cote est 15,67, et nous graduons la ligne sans difficulté. 11 y aura deux solutions, si la nature du problème n'indique pas de quel coté les cotes doivent aller en augmentant.

267. Par un point donné A faire passer une droite parallèle à une droite donnée BC {fig. 141).

La projection AI) de la droite cherchée doit être parallèle à BC. La grandeur de l'intervalle est la même sur les deux lignes. Le point dont la cote est 1 5 se trouve à une distance horizontale de A égale aux 34 centièmes rie l'intervalle.

2«H. Reconnaître si deux droites A et B {Jig. 1^2) se coupent, et dans ce cas déterminer la cote de leur point commun.

Les horizontales qui rencontrent A et B seront parallèles, si ces droites sont dans un même plan, et non parallèles dans le cas contraire; la même différence se produira en projection. Les sécantes qui correspondent aux cotes 16, 17 et 18 étant parallèles, nous en concluons que les droites se coupent.

Aux cotes 18 cl 16, les longueurs des sécantes sont respectivement de 8 m , l\u et 6™, 04. La diminution de longueur de la sécante horizontale, qui est de a™, 36, correspond à une différence de hauteur de a 1 "; pour réduire la sécante de 8 m ,4o,

il faudra une hauteur égale à — ~ m " uu 7 m » Ia - La cotc Ju point commun est

donc 1 8 m — 7 m , 1 2 ou \o w , 88.

Si le point de rencontre des projections A et B avait été dans le cadre de l'épure, on eût pu calculer la cote du point correspondant de chaque droite (art. 2K5), et voir si l'on obtenait le même nombre ; mais ce procédé est moins exact.

Pour avoir le point d'intersection de deux droites situées dans un même plan vertical, on rabat ce plan en le faisant tourner autour d'une de ses horizontales {fig. i45). On peut aussi employer la méthode arithmétique.

26ÎL On représente un plan qui existe réellement par ses horizontales à cotes entières limitées à son- périmètre. Pour un plan de construction, on se contente généralement de son échelle de pente : c'est une de ses lignes de plus grande pente . graduée.

Toute droite située dans un plan, et perpendiculaire à ses horizontales, peut être prise pour son échelle de pente. On l'indique alors par un double trait P [fig. i43). I. i4

Io6 LIVRE III. — PROJECTIOHS COTÉES.

On pourrait dans les procédés ordinaires, lorsque l'on emploie deux plans de projection, définir un plan par sa ligne de plus grande pente; il serait toujours facile d'avoir ses traces. La ligne de plus grande pente d'un plan joue d'ailleurs souvent un rôle fort important dans les épures, connue on peut le remarquer sur les figures <)5, 11a, 1 1/| et 1 16.

270. Trouver la cote d'un point dont on connaît la projection A, et qui est sur un plan donne ? {fig. i43).

NousmenonsparlepointAune horizontale du plan: cette ligne AB est perpendiculaire à l'échelle de pente P. Nous déterminons ensuite la cote 5a m , 33 du point B de la droite P.

271 . Faire passer un plan par trois points A, B, C l 'fig. i44).

Nous joignons par une droite BC deux des points donnes, nous graduons cette ligne, et nous déterminons sur elle le point D, qui est a la cote il\ m , 78 du point A. Nous traçons l'horizontale AD du plan et ensuite l'échelle de pente qui lui est perpendiculaire. Il n'y a plus qu'à ramener sur cette ligne les points de division de BC par des parallèles à AD.

272. Construire un plan passant par deux points donnes A et B {fig. 146), et ayant une pente donnée 1 , a5.

Concevons un cône de révolution dont le sommet soit au point A, dont les génératrices aient la pente donnée, et dont la base repose sur le plan horizontal du

point B. Il est facile de tracer cette base : son rayon est ' 5 " , ^ 3 | ~ 5 ' a "' a7 ou 2*, 53.

Le plan cherché doit être tangent au cône (art. I2."> ,i. Sa trace sur le plan horizontal • du point B sera donc la droite BT; en lui menant une perpendiculaire P, nous obtenons l'échelle de pente. Enfin nous graduons la droite AB, et nous rapportons ses points de division sur P.

En menant du poiut B une autre tangente au cercle, on obtiendra un second plan qui satisfera également à la question, si le sens dans lequel l'angle doit être mesure n'est pas déterminé.

Le sommet du eûne est au-dessus ou au-dessous de sa base, suivant que le plan de comparaison est supérieur ou inférieur.

273. Par un point A donné sur un planP IJig- 1 4^ ] • tracer dans ce plan une droite d'une pente donnée o , 44 .

La distance horizontale du point A à celui des points de la droite cherchée qui

se trouve à la cote 55 est 55m ~ 5 ^"' 33 ou 6™, 07. La projection de ce point est

donc sur un arc de cercle décrit du point A comme centre, avec un rayon de G m .o~; eomme d'ailleurs il doit être sur l'horizontale du 55 plan, nous obtenons sa position par recoupement. Nous pouvons ensuite tracer la droite. On trouve deux solutions; il pourrait ne pas y en avoir.