Construire l'intersection de deux plans P et Q

Les horizontales de même cote se rencontrent dans l'espace, et donnent des points de la droite d'intersection A {fig. 1^7).

Sur \z figure 148, les points de rencontre des horizontales des plans P et Q étant éloignés, nous avons employé deux plans auxiliaires dont les intersections avec les plans donnés ont fait connaître deux points m et n de la droite cherchée A. Chaque plan auxiliaire n'est représenté sur la figure que par deux horizontales aux cotes ao et a3 : ces lignes suffisent pour la construction.

La droite A est presque horizontale, et il n'est pas possible de la graduer en cotes entières; on déterminera sans difficulté la cote de l'un quelconque de ses points, en le ramenant sur l'une des échelles P ou Q par une perpendiculaire.

275. Déterminer l'intersection d'une droite A et d'un plan P (fig. l4g).

Par deux points 3o et 33 de la droite, nous menons des parallèles dans une direction quelconque, et nous les considérons comme les horizontales d'un plan dont nous déterminons l'intersection BC avec P. Cette ligne fait trouver sur A le point cherché, dont on détermine ensuite la cote. Nous avons ponctué la droite dans la supposition que le plan de comparaison est inférieur, et que le plan P existe réellement.

On peut prendre pour plan auxiliaire le plan projetant de la droite; il faut alors le rabattre en le faisant tourner autour d'une de ses horizontales. Nous donnerons plus loin un exemple de cette construction (art. 287).

276. Par un point donné mener un plan parallèle à un plan donné.

Pour avoir l'échelle de pente du plan cherché, il suffit de mener par le point donné une droite parallèle à la ligne représentée par l'échelle de pente du premier plan (art. 267).

277. Quand un plan est perpendiculaire à une droite, son échelle de pente est parallèle à la projection delà droite, car ces deux lignes sont perpendiculaires aux horizontales du plan fart. 46).

Les angles que la droite et une ligne de plus grande pente du plan font avec l'horizon sont complémentaires; par conséquent, les intervalles i et i', mesurés sur la projection de la droite et sur l'échelle de pente du plan, sont réciproques :

* iV = i.

Il est d'ailleurs évident que les cotes doivent croître en sens opposé, sur l'échelle de pente du plan et sur la projection de la droite.

278. D'un point donné A (fig, i5a) mener une perpendiculaire à un plan donné P.

La projection AB de la perpendiculaire est parallèle à P. L'intervalle i' esto™, 80,

Ui6 UVHE 111. — PROJECTIONS COTÉES.

et par suite i doit être i™, af». La graduation de la droite ne présente ainsi aucune difficulté. Si l'on veut avoir la distance du point A au plan P, on déterminera le pied de la perpendiculaire, et on construira la vraie grandeur de la droite qui va de ce point au point donné (art. 2«.*>.)

Ou résout de la même manière le problème de mener par un point un plan perpendiculaire à une droite.

27ÎL Déterminer l'angle de deux droites A et B [Jig. i5o).

Par un point m de A ayant une cote entière 9, nous menons une droite H' parallèle à B: puis nous Taisons tourner le plan des droites A et B' autour d'une de ses horizontales, celle qui est à la cote 12, jusqu'à ce qu'il soit horizontal. La perpendiculaire abaissée du point m de l'espace sur l'axe du mouvement se projette sur la ligne mg perpendiculaire à cette droite, et nous trouvons facilement sa grandeur g\\, (art. 26$); nous pouvons par suite placer le rabattement M du point de l'espace, et des côtés de l'angle cherché.

Si les droites A et B' étaient dans un même plan vertical, le rabattement serait disposé comme il est indiqué sur la figure i45.

'2X0. Trouver l'angle de deux plans P et Q [Jig. 1 53).

La droite mn, perpendiculaire à la projection al> de l'intersection des deux plans, peut être considérée comme la trace sur le plan horizontal qui esta la cote li d'un plan perpendiculaire aux plans P et Q. Nous rabattons ce plan auxiliaire en le faisant tourner autour de mn : le point où il perce l'intersection se place en G, à une distance de r, que l'on obtient en rabattant le plan projetant de la droite ah autour de celle de ses horizontales qui esta la cote i3. L'angle cherche est mCn.

Cette construction est analogue à celle que nous avons exposée il l'article 5(> pour le cas où l'on opère sur deux plans coordonnés.

281 . Par un point donné A mener une droite oui fasse un angle donné as ec une droite donnée \) (Jig. i5i).

Nous déterminons sur la droite un point B à la même cote que A, et nous concevons que le plan passant par la droite et par le point donné tourne autour de la ligne \B jusqu'à devenir horizontal. Un point « est porté en N, et la droite D devient BN; on trace alors la ligne Al sous l'inclinaison voulue, et l'on remet le plan en position : le point I est ramené en 1, et la droite cherchée est A*.

Le problème admet une seconde solution si le sens dans lequel on doit mesurer l'angle n'est pas déterminé par la nature de la question.

Si l'on voulait avoir la dislance du point A à la droite I), on abaisserait de ce point une perpendiculaire sur Bl. et on mesurerait sa longueur.

Exercices.

282. On donne trois points A, B, C \fig- 1 54] ; on demande :

i°. De faire passer par chacune des lignes AB et BC un plan dont la pente vers •