X- COS a — m, k cos b = n, ifrcos c — p

Les trois axes étant rectangulaires, la somme des carrés des cosinus des angles qu'ils font avec une droite quelconque telle que S, *S' i Jig. 1 7.5 est égale a 1 . et par suite la somme des carrés des cosinus des angles complémentaires a. b et c qu'ils font avec le plan de projection est égale à a :

cos* a -+- cos* b -»- cos* c = 3 ;

donc

jtk 1 — m* ■+■ «* -+- p*.

m, n et/» étant connus, on obtient k par une construction très-simple Jig. \-!\ , et l'on a l'échelle des vraies grandeurs; on détermine ensuite les angles a, i> cl <• par des triangles rectangles, tels que MM' A', , NN b",. FP'C.

Les inclinaisons des trois axes étant déterminées, il est facile d'obtenir les angles que comprennent leurs projections en établissant la Jigttre 1 7 5 par une construction en ordr e inverse de celle que nous avons donnée à l'article 82. On trace une droite XY dans la direction que l'on veut donner aux verticales, on élève une perpendiculaire iS' d'une grandeur arbitraire, on trace les droites S'A',, S' IV, et S'C, qui rencontrent XY sous les angles a, b et c, puis la ligne S'(/', perpendiculaire à S'C Le reste de la construction n'a pas besoin d'explication.

2ÎL'i. En faisant disparaître k de la valeur de cosa, on obtient

cos* a — — ••

Pour que l'angle a soit réel, il faut que m' soit plus petit que n* -4- p*. Si cette condition n'était pas satisfaite, le triangle rectangle qui fait connaître l'angle a ne pourrait pas être construit, car l'hypoténuse k serait plus petite que le coté m. On ne trouve un système de trois inclinaisons réelles que quand chacune des quantités /«', ri* et p 2 est plus petite que la somme des deux autres.

On n'obtient des projections réelles Sj- et Sv pour les axes horizontaux que quand les arcs décrits du point S comme centre avec des rayons égaux à SA, et SB, rencontrent la droite dd '. Il faut donc que l'on ait

SA, > Sd, SB, > Sd.

On obtient immédiatement

SA, = jS'cola, SB, = iS'coté, Sd= iS'tangc.

A l'aide de ces valeurs, et en éliminant a, b et c par les équations de l'article 2114,