OE

il en résulte

(1) oc =

En particulier, lorsqu'on prend le rayon pour unité, on a

2rt

SCOLIE

285. Connaissant les côtés des polygones réguliers de «, an, 4/1, 8/1,. . . côtés, inscrits dans le cercle de rayon i, on aura par la formule (2) les côtés, et, par suite, les périmètres des polygones réguliers circonscrits semblables. Voici les résultats que l'on obtient pour les séries qui dérivent du carré et de rhexagonc :

LITRB III. — LES FIGDKBB BBHBLABLBS.

Membre des cAtés. Demi-périmètres.

4 4)Ooooo

Nombre des côtés. Deml-pérlmèlres.

Ces valeurs sont obtenues par excès à moins d'une unité du cinquième ordre décimal.

PROBLÈME

286. Étant donnés le rayon r et rapothème a d'un polygone régulier, calculer le rayon r' et l'apothème a' du polygone régulier qui aurait le même périmètre et un nombre de

côtés double (Jig. 197).

Fig. 197.

Soient AB le côté et 0 le centre du polygone donné; en menant le rayon OGC perpendiculaire sur AB, on aura

OC = r, 00 = a.

Tirons CA et CB, et joignons les milieux D et E de ces deux cordes. La droite DE, parallèle à AB et égale à sa moitié, sera le côté du polygone régulier qui a même périmètre ei deux fois plus de côtés que le premier. D'ailleurs, l'angle DOE étant la moitié de l'angle au centre AOB du polygone primitif, le point G sera encore le centre du nouveau polygone, et Ton

aura

OD=:r', OF = a'.

Or, le point F est le milieu de CG; donc

OF = -(OG-+-OC) ou a'=::-(rt-f-r).

l86 GfiOHÉTRIB PLANE.

De plus, le triangle rectangle ODC donne (222)

(2) Ôd' = OC.OF ou r'=s/i^'.

Les relations (i) et (2) résolvent le problème proposé; la première permet de calculer a'; puis, a' étant connu, la seconde donne r'.

^ SCOLIE

287. On voit sur la figure que OF est plus grand que OG et que OD est moindre que OC. Donc, quand pn passe d'un polygone régulier au polygone régulier iso périmètre d'un nom-bre de côtés double, l'apothème augmente et le rayon diminue, de sorte que la différence entre le rayon et l'apothème va en décroissant. Le triangle AOG montre que cette différence OA — OG est moindre que AG, c'est-à-dire que la moitié du côté du polygone correspondant. Or, le périmètre du polygone restant constant, la valeur de chacun des côtés tend vers zéro lorsqu'on double leur nombre indéfiniment. Donc, Vexcès du rayon sur l'apothème peut devenir aussi petit qu'on veut.

On peut voir que la différence r' — a! est moindre que le quart de la différence précédente r — a.

En effet, si du point 0 comme centre, avec OD pour rayon, on trace l'arc DIE, on a

r'~«' = IF et r-a = CG = 2GF;

il s'agit donc de prouver que IF est inférieur à la moitié de CF, c'est à-dire que IF est moindre que CI. Or l'angle inscrit IDE et l'angle IDC formé par une tangente et une corde ont pour mesure, le premier la moitié de l'arc lE, le second la moitié de l'arc DI; ces angles sont donc égaux, etDI est la bissectrice de l'angle CDF. Donc enfin le rapport de IF à IC est égal (191) à cçlui de la perpendiculaire DF à l'oblique DC, et, par suite, moindre que i.

288. Soient /? et P les périmètres de deux polygones réguliers semblables, l'un inscrit et Tautre circonscrit, et p' et P' les périmètres des deux polygones réguliers inscrit et circonscrit d'un nombre de côtés double. Le rapport de similitude ou celui des périmètres étant égal au

rapport des apothèmes (269), on a [fg. 197)