AS=:AÏ, QS=:QT
puis, de l'égalité des triangles rectangles BQS, TQE, qui ont l'hypoténuse égale et un côté égal, on déduit
ET = BS.
On a donc
AB = AS-BS et AE = AT-^ TE = AS -+-BS.
Mais QS n'est autre que la moitié du côté du décagone convexe, puisque AQ est égal au rayon et que, l'arc BQ étant le dixième de la circonférence, l'angle inscrit BAQ est la moitié de l'angle au centre du décagone convexe; on a donc
QS = |(v/5-.);
par suite,
AS = V^Âq' — QS' == j V 10 -f- 1 V 5,
BS = \/bq' - Qs' = ^ (v i5 - v3).
On aura donc, d'après les relations ci-dessus,
AB = j(Vio-f-2v/5-f- v'3 — v"Î5),
AEz= ^ (Vio -1-2^5 - v'^ -+- v/"i5).
l82 GÉOMÉTRIE PLANE.
On verra de même que X élanl le milieu de ML, AX est le côté du décagone étoile el XO = XI le côté de Thexagone, ce qui permettra de construire et de calculer d'une manière analogue les côtés OA et AI des deux autres pcntédécagones étoiles. On trouve
A0:=: j (v/lO-2v5 - V'^ + V^T5),
AI = V (Vio-2v/S -+- v^3 -f- v/T5)^
281. Du pentedecagone convexe, on passe au polygone de 3o côtés, puis à celui de 60, . . ., et ainsi de suite, en prenant chaque fois les milieux des arcs sous-tendus par les côtés du polygone précédent. On peut donc, avec la règle et le compas^ inscrire les polygones réguliers de i5, 3o, 60, 120,. . ., et en général de 3.5.2" côtés.
PROBLÈME
282. Connaissant le côté d'un polygone régulier inscrit dans un cercle donnée calculer le côté du polygone régulier inscrit d'un nombre de côtés double {fig* igS).
Fig. 195.
Soient AB = a le côté donné et R le rayon du cercle; CD étant le diamètre perpendiculaire à AB, AC sera le côté cherché, que nous désignerons par a'.
La corde AC est moyenne proportionnelle entre le diamètre CD et sa projection CE = OC — OE sur ce diamètre; on a donc
Mais le triangle rectangle AEO donne
OE ^ V^AO' - AE' ou OE := i/r» "" Î "^ ^ ^'^ ^* "" "'*
On a donc finalement
En parliculier, lorsqu'on prend le rayon pour unilé, on a
On peut donner à cetle relation une autre forme plus commode pour le calcul numérique. Le produit de la somme
2 -h y^4 — «S par ^^ différence 2 — ^4 — «' > ^st égal à la différence des carrés de 2 et de ^i — a\ c'est-à-dire à
Par suite, on a
et enfin
SCOUB.
283. En partant d'un polygone dont on connaît le côlé, on pourra, par l'application répétée de la formule (3), calculer successivement les côtés, et par suite les périmètres des polygones réguliers inscrits de 2/1, 4^> 8/i, i6/t, . . . côlés, n étant le nombre des côtés du premier polygone. Voici les résultats que l'on obtient en partant, soit du carré dont le côlé est ^2 dans le cercle de rayon 1, soit de l'hexagone dont le côté est 1 :
tf' =
• cdléf. Daml-pérlmètrof.
Nombre daf cOléf . D«ml«pérlmèlret
12 3,io582
96 3,i4io3
Ces valeurs sont obtenues par défaut à moins d'une unité du cinquième ordre décimal.
l84 GÉOMÉTRIE PLANE.
PROBLÈME
284. Connaissant le côté d'un polygone i^égulier inscrit, calculer le côté du polygone régulier circonscrit semblable
Fig. 196.
Soient AB = a le côlé donné el R le rayon du cercle; menons la tangente CD au milieu F de l'arc AB el prolongeons-la jusqu'aux points C et D, où elle rencontre les rayons OA el OB prolongés. CD sera le côté cherché (265); désignons-le par a.
Les triangles semblables AOE, COF, donnent
