VIII. - MESURE DE LA CIRCONFÉRENCE

DÉFINITIONS

289. L'idée générale de longueur est une de celles qu*oa ne peut ramener à aucune autre. Aussi bien, comme nous Tavons déjà dit, il n'est pas nécessaire de savoir définir une grundeur pour pouvoir la mesurer, c'est-à-dire pour pouvoir la comparer à une autre grandeur rfe même espèce; il suffit de posséder la notion des grandeurs de cette espèce et d'avoir défini leur égalité et leur addition. C'est ainsi qu'après avoir défini l'égalité et l'addition des lignes droites (3), on conçoit nettement ce que c'est qu'une ligne droite ou brisée double, triple,. . ., d'une autre, et, en général, ayant un rapport quelconque avec

l88 GÉOMÉTRIE PLANE.

une autre ligne droite ou brisée. On peut en dire autant de. deux arcs de cercle de même rayon (93).

II n'en est plus de même lorsqu'il s'agit de comparer la circoiiférence ou un arc de cercle à la ligne droite. Puisque la décomposition en parties respectivement superposables est ici impossible, et qu'en Géométrie Yégalité résulte de la possibilité de la coïncidence, on voit qu'à proprement parler un arc de cercle et une portion de ligne droite ne sauraient être égaux j mais tout au plus équivalents. Pour ramener la notion de la longueur d'un arc de cercle à celle de la longueur d'une ligne droite, on adopte alors la définition suivante :

La longueur d'un arc de cercle est la limite vers laquelle tend le périmètre d'une ligne brisée régulière inscrite dans cet arc (268), lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre de ses côtés;

Et en particulier :

La longueur d'une circonférence est la limite vers laquelle tend le périmètre d'un polygone régulier qui y est inscrit et dont le nombre des côtés croît indéfiniment.

290. Toutefois, pour justifier celte définition, il faut prouver que cette limite existe et quelle est unique, c'est-à-dire indépendante de la loi suivant laquelle on fait croître le nombre des côtés.

Voici cette démonstration :

1** Le périmètre d'aune ligne brisée régulière inscrite dans un arc de cercle y tend vers une certaine limite quand on fait croître indéfiniment le nombre de ses côtés. En effet, si, après avoir inscrit dans l'arc considéré une première ligne brisée régulière, on prend sur chacun des arcs soustendus par les divers côtés n points intermédiaires équidistants, on formera une seèonde li|;ne brisée régulière inscrite dont le périmètre surpassera évidemment celui de la première. En opérant d'une manière analogue sur cette seconde ligne, c'est-à-dire en divisant chacun des arcs sous- tendus par ses divers côtés en m parties égales [m étant égal à n ou différent de //), et en continuant ainsi indéfiniment, les périmètres successifs croîtront sans cesse; et comme ils sont tous (74) inférieurs à une ligne polygonale quelconque enveloppant Tare considéré et ayant les mêmes extrémités, on voit que ces périmètres tendront nécessui rement vers une certaine limite.

2® Im limite du périmètre fVune ligne brisée régulière inscrite dans un

arc (le cercle est la même, f/uclle que soii la loi suivant laquelle on fait cmîtrc indéfuiiment le nombre des côtés.

Observons d'cibord que les périmètres d'une ligne brisée régulière inscrite ABCD, et de la ligne brisée circonscrite semblable A'B'C'D' et terminée aux mêmes rayons OAA', ODD', tendent vers la même limile lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre de leurs côtés [fig, 198). En

effet, le rapport de ces périmètres est égal à celui des côtés AB, A'B', ou à celui des apothèmes OK, 01; et il suffit «lors de prouver que le nombre des côtés croissant indéfiniment^ le rapport de OK à 01 tend vers Tunité, ou, ce qui revient au même, que la différence 01 — OK = IK tend vers zéro. Or, cette différence IK est moindre que la corde AI , laquelle a évidemment zéro pour limite.

Remarquons en outre que toute ligne brisée régulière inscrite dans l'arc AD est moindre que toute ligne brisée régulière, telle que A'B'C'IV, circonscrite à Tare AD et comprise entre les mêmes rayons OAA', ODD'. En effet, la ligne A'B'C'D' est égale à celle AMNPD, que Ton obtient en menant des tangentes en A, B, C, D; et cette dernière surpasse toute ligne brisée inscrite dans Tare AD, puisqu'elle Tenveloppe et a les mêmes extrémités A et D (74).

Cela posé, soient /?„ et p„, les périmètres de deux lignes brisées régulières inscrites, qui ont leurs nombres de côtés n et n' très-grands et qui apparliennent à deux lois d'inscription différentes. Soient P„ et P„, les périmètres des deux lignes brisées régulières circonscrites, respectivement semblables aux lignes' brisées déjà inscrites. Nous venons de voir que p„ et P„ tendent vers une limite commune L, que p^, et P„. tendent aussi vers une limile commune L', et il s'agit de prouver que ces deux limites L et L' sont égales. Or, d'après la remarque de l'alinéa précédent, p^ est moindre que P„,, quels que soient n et /i', et par suite la limite L de p^ ne peut pas surpasser la limite L' âe P„,. De même, p^, étant toujours moindre que P„, la limite L' de p,^ ne saurait surpasser la limite L de P„. Donc L ne pouvant ni surpasser L' ni être surpassée par L', est nécessairement égale à L'.

â9i. Il résulte de là (289, 74) *. 1° qu'un arc de cercle est moindre que toute ligne polygonale enveloppante et terminée aux mômes extré-

igo GÉOMÉTRIE PLANE.

mités , a® que la circonférence est moindre que tout polygone qui Tenveloppe.

THÉORÈME

292. Le rapport de deux circonférences quelconques est égal au rapport de leurs rayons.

Soient R et R' les rayons, et C et C les longueurs de deux circonférences; inscrivons dans la première un polygone régulier quelconque el, dans la seconde, un polygone régulier d'un même nombre de côtés. P et P' étant les périmètres de ces polygones, on aura (269)

Cette proportion, ayant lieu quel que soit le nombre des côtés des deux polygones, subsistera quand on fera croître ce nombre indéOniment; mais alors les périmètres P et P' tendront vers leurs limites respectives C et C et leur rapport tendra

vers ■^' On aura donc, à la limite,

C R C — R' Corollaire.