LIVRE 111. — LIS PIGCRBS SEMBLABLES. T

De même; on peut poser

L'erreur commise en prenant - = -^—r — - est donc moindre que

Supposons /' assez grand pour que cette dernière quantité soit moindre que -^ et désignons par a et p des valeurs approchées de a^ et de r^

à moins de =; - différant de ô(^*H-^''») de moins de =1 et

cette dernière quantité différant à son tour de ô(^ + ^p) ^^ moins de

=7 on a, à moms de — =?

i = i(a-hap).

De là ce théorème :

Si l'on prend k assez grand pour que la qiumtUé

soit moindre que 5 j et si z et ^ sont des valeurs approcliêes de a^

et de r^ à moins de ^j l'expression

^(x + ap)

est une valeur approcliée (le — à moins de — =: •

Par exemple, en s*arrétant au polygone de 64 côtés, on a, diaprés le tableau précédent (300),

4fr, — /yj' I a=o,3i8o542,

On en déduit

i = ^(a-hap) = 0,318099,

à moins de — 7) et, par suite,

li = 3,141593,

a moms de — r- 10'

200 GÉOHfiTEIE PLANS.

30â. Retour à la méthode des périmètres, — Nous avons dit (299) que la méthode des périmètres convenablement dirigée conduisait à des calculs identiques aux précédents.

En effet, /? et P étant les périmètres de deux polygones réguliers semblables, l'un inscrit^ l'autre circonscrit, et /?' et P' étant les périmètres des deux polygones réguliers inscrit et circonscrit d'un nombre de côtés double, on a (288)

Les nombres

p'-Up-^/v' />'~vp''^

sont donc, à partir du troisième, alternativement moyens arithmétiques et moyens géométriques entre les deux qui précèdent. D'ailleurs, si Ton

prend le rayon du cercle égal à -? on a tt = C ou ~ = /rî et, par suite,

- est la limite de la suite formée par les inverses des périmètres des polygones réguliers inscrits et circonscrits dont le nombre des côtés va en doublant. Enfin, si Ton part des carrés circonscrit et inscrit, les deux

premiers termes de la série sont k = tj - = ^' et Ton retombe sur

P 4 /? 4 le théorème de Schwab énoncé au n° 300.