Méthode des isopérimètres. — Prenons la circonfé
rence C égale à 2; la formule tt = —^ donne alors
7r=^ ou -=R.
Il TT
Le nombre - est donc la valeur du rayon de la circonférence
TT
égale à 2. Par suite, l'apothème a et le rayon r de tout polygone régulier ayant un périmètre égal à 2, sont deux valeurs
ig6 GÉOMfiTRIB PLANE.
approchées de -? l'use par défaut, i'auire par excès; car, la
circonférence inscrile el la circonférence circonscrite à un tel polygone étant l'une moindre, l'autre plus grande que 2, leurs rayons a el r doivent comprendre le rayon R de la circonférence égale à 2 (292), c'est-à-dire le nombre -• -
TT
Cela posé, considérons le carré dont le côlé est -: son périmètre est 2, son apothème a, = j et son rayon r, = -7 ^. Puis, à Taide des formules (286),
( I ) ak+, = - ( fl* 4- r* ), r*+, = v'ai+i./'*,
calculons successivement les rayons et les apothèmes a^ et I5, (ii et Ts, «4 et r,,... des polygones réguliers isopérimètres de 8, 16, 32,. . ., côtes. Dans la série
^i> ''ij ^n '*a» ^31 ri, • • • » ^«, /«» • • • ,
dont chaque terme à partir du troisième est alternativement moyen arithmétique et moyen géométrique entre les deux qui précèdent, les termes de rangs impairs a,, ^s, ^3>* • •« ^n>- • -,
vont en croissant et restent inférieurs à -» tandis que les termes de rangs pairs r„ r„ r^, . . ., r„,. . ., vont en décroissant (287) et restent supérieurs à -• D'ailleurs, on sait (287)
TT
que la différence r„ — an peut être rendue moindre que loute quantité donnée en prenant n assez grand; donc les termes de la suite
tf,, r,, a,, Tj, «3, Ta,. . ,
alternativement inférieurs et supérieurs au nombre -» ont ce
TT
nombre pour limite.
Si l'on remarque en outre que a,:=j est la moyenne arithmétique entre o et - » et que r, = -r ^^2 est la moyenne
LIVRS III. — LB8 FIGUHB8 gBHBLABLSS. I97
géométrique enlre - el y» on arrive à celle proposition :
Le nombre - est la limite vers laquelle tend la suite des nombres obtenus en partant de o et -^ et prenant alternativement
la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique entre les deux qui précèdent.
En prolongeant le calcul de ces moyennes jusqu'à ce que deux termes consécutifs aient m -»- 1 décimales communes,
on aura - à moins d'une unilé décimale de l'ordre m h- i, el r
par suile, en divisant i par le nombre ainsi trouvé, on aura r
à moins d'une unilé du m'*"' ordre décimal. Car, si l'on désigne
respectivement par e' et e les erreurs correspondantes de tt el
de -9 on a, en négligeant le produit tzu' , €'=7T'^e, d'oii g'<ioe.
Voici le tableau des calculs jusqu'au polygone de 128 côtés :
5 des côtés.
Apothèmes.
Rayons.
«, =: 0 , 25oOOOO
fli=io,3i8o542
ri=: 0,3 184377
ia8
On trouve ainsi pour - la valeur o,3i8 à moins d'un mil-
iîème, et même o,3i83 à moins d'un dix-millième; par suite, en divisant l'unité par ce dernier nombre, on obtient pour tt la valeur 3,142 à moins d'un millième.
301 . Voici quelques développements nouveaux qui permettent d'abréger beaucoup les calculs.
Si l'on désigne par t^. l'erreur commise, en substituant la moyenne arithmétique des deux quantités a^^^^ et r^ à leur moyenne géométrique,
198 GÉOHÉTHIB PLANS.
la seconde des deux formules (i) devient
Par suite, on peut écrire comme il suit ces deux formules :
On a de même
En continuant ainsi jusqu'à
et, en ajoutant membre à membre toutes les égalités posées, on obtient «*+;t - '•* = 5 (^x - ''*+«-i) + («* + 'i+i +• • • + «i+;.-0 .
Laissons /• fixe et faisons croître f* indéfiniment; «^ . „ et ^i^a^t auront pour limite commune -) et la relation précédente deviendra
— — — 5 — ) avec une erreur moindre que
Or, d'après le n" 251, t^ est moindre que ^ (/\ — ^a+,)'. On a donc
à fortiori
Par suite, c^, est moindre que ^*-^' ~ "**' ' > et l'on a à fortiori (287)
