ABC^) = (ABCD

Par suite (309) ^ coïncide avec D, et la droite DD' passe par le point 0.

Corollaire.

318. Lorsque deux figures rectilignes de quatre points correspondants ont un rapport anharmonique égal, les autres rapports anharmO" niques sont égattx de part et d'autre.

En effet, en plaçant les deux droites qui portent les deux figures de manière que deux points homologues coïncident, l'égalité de l'un des rapports harmoniques exigera que les deux figures soient la per-

une même droite, et alors les deux | spective Tune de l'autre, et, dès faisceaux auront bien tous leurs rap- 1 lors (312) tout rapport anharmo* ports anharmoniques égaux , puis- nique de Tune sera égal au rapport que cesrappoHsne sont autres (313^ anharmonique analogue de Tautre. que ceux des quatre points détermi- ' nés par les deux faisceaux sur une , transversale commune. |

jipplications,

319. Le Traité de Géométrie supérieure de M. Ghasles montre tout le parti qu'on peut tirer de la théorie si simple du rapport anharmonique. L'emploi des théorèmes qui précèdent (312, 315, 317) a une grande importance, comme on le verra surtout lorsque nous traiterons de Fhomo* graphie et de Tinvolution. Nous nous bornerons ici à quelques exemples; nous rencontrerons d'ailleurs d'autres applications dans le courant même de cet appendice.

320. Quand deux triangles ABC, 321. Qiutnd deux triangles ABC,

A'B'C, ont leurs sommets situés deux à deux sur trois droites OA'A,

A'B'C'j sont tels, que leurs côtés se coupent deux à deux (BC ef BX',

OB'B, OC'C, concourant en k/î AC et A'C, AB et A'B') en trois même point 0, leurs côtés se rcn- jmnts a, p, 7, situés en ligne droite.

contrent deux à deux ( BC <r/ B' C, AC et A'C, AB et A'B') en trois points a, p, 7, situés en ligne droite [fig, 10S ).

leurs sommets sont situés deux à 'deux sur trois droites OA'A, OB'B, OC'C, concourant en un même point 0 (Jîg ao5).

Fig. 2o5.

En effet, désignons par D et D' | En effet, soit I l'intersection de la les points où la droite OC'C ren- droite oipy et de CC; on aura (313) contre respectivement les côtés AB et A'B'. Le faisceau des quatre] (^.«7!?) = (C'.a7lf ),

droites O7, OB, OA, OC, étant coupé par les deux transversales AB et A'B', ona(3l2)

(7BAD) = (yB'A'D'),

et par suite (313)