CAOA DA OA CB "■ 7B ' DB "' ^B
qui, divisées membre à membre, donnent
(ABCD) = i|.
En menant par B' la parallèle B'7'^' à OA, on obtiendrait de même
L'égalité manifeste (218) des seconds membres des deux relations qui précèdent, prouve l'égalité de leurs premiers membres.
On peut considérer la figure rectiligne A'B'C'D' comme la persjjectwe ou projection concourante de la figure rectiligne ABCD, cette projection étant faite du centre 0 et suivant les rayons projetants OA, OB, OC, OD. De là, cet autre énoncé fort commode du théorème qui nous occupe : ie rapport anltarmonique de quatre points en ligne droite est projectif. Si le centre 0 est à rinfini, les rayons OA, OB, OC, OD, sont parallèles, et le théorème subsiste.
SCOLIBS.
313. On nomme rapports anharmoniquesd- un faisceau de quatre droites les rapports anharmoniques des quatre points déterminés par ce faisceau sur une transversale quelconque. Ainsi, (ABCD), (ACDB),. . . (308) sont
204 GfiOMfiTRIE PLINB.
(les rapports anharmoniques du faisceau formé par les droites OM, ON, OP, 00 {fi§, aoa). On désigne ces rapports anharmoniques du faisceau par la notation (O.ABCD), (O.ACDB),. .. .
Il résulte d'ailleurs du n*" 310 que le rapport anharmonique d*un faisceau ne change pas de valeur lorsqu'on échange deux rayons quelconques, pourvu qu'on échange en même temps les deux autres; de sorte qu'on a, par exemple, (O.ABCD) = (O.CDAB).
On entend par angles d'un faisceau les six angles formés par ses quatre rayons considérés deux à deux. £n se reportant à la démonstration du n" 312, on voit que le rapixirt anharmonique d'un faisceau n'est pas w»dijîé, quand quelques-uns de ses angles se trowent remplacés par leurs suppléments,
314. Il est évident que deux faisceaux qui ont respectivement les mémos angles ont les mêmes rapports anharmoniques. Voici deux exemples importants de faisceaux de cette nature.
i" Si l'on Joint un point quelconque 0 d^une circonférence à quatre pfjints fixes A, B, C, D, de cette circonférence, le rapf/ort anharmonique du faisceau ainsi obtenu est constant , quelle que soit la position {lu point 0 sur la circonférence. Il résultée, en effet, des propriétés des angles inscrits que le point 0 se déplaçant, et les points A, B, C, D, restant fixes sur la circonférence, le faisceau conserve les mêmes angles. Ce rapport constant est ce qu'on appelle le rapport anJutrmonique des quatre points A, B, C, D, du cercle,
2" Si l'on joint le centre d'un cercle aux points où quatre tangentes fixes sont coupées par une cinquième tangente ^ le rapport anharmonique du faisceau ainsi obtenu est constant, quelle que soit la cinquième tangente. En effet, l'angle sous lequel on voit du centre la portion d'une tangente mobile comprise entre deux tangentes fixes, est évidemment ^l à la moitié de Fangle des deux rayons qui aboutissent au point de contact de ces tangentes fixes. Cet angle est donc constant, et par suite le faisceau considéré conserve les mêmes angles, quelle que soit la iK)silion de la cinquième tangente.
On voit par là que le rapport anïiarmonique des jxfints suivant lesquels une tangente mobile est coupée par quatre tangentes fixes est constant. Ce rapport est ce qu'on appelle le rapimrt anïiarmonique des quatre tangentes fixes.
Le rapport anharmonique de quatre tangentes h un cercle est égal au rapport anharmonique des quatre /joints de contact; car le faisceau partant du centre du cercle, et aboutissant aux points d'intersection de ces quatre tangentes avec une cinquième, a ses rayons respectivement perpendiculaires à ceux du faisceau partant du point de contact de la cinquième tangente et aboutissant aux points de contact des quatre tangentes considérées (313).
ao5
THÉORÈME
315. Quand {leux faisceaux de quatre (UvUes OA, OB, OC, OD, et OA', OB', OC', OD', ont un rapport anharmonique égal et un rayon honu^gue commun 00', les trois /wints 6, 7, ^, dUnterscction des autres rayons fiomologues pris deux à deux y sont en ligne droite [fg. ao3).
Fig. 2o3.
317. Quand deux figures rcctilignes lie qqatre points A, B, C, D, et A', B', C', D', ont un rapport anharmonique égal et un point lujmologue commun A, les trois droites BB', CC', DD', qui joignent les autres points homologues pris deux à deux y concourent en un même point 0 (fg.%oi^).
Fig. 20^.
En effet, désignons respectivement par a, ^, $\ les points où la droite ^ rencontre 00', OD, O'D'; on aura, d'après l'hypothèse (313),
Donc i et 9' coïncident (309), et les trois points P, 7, ^: sont en ligne droite. i
Corollaire.
316. Lorsque deux faisceaux de quatre droites correspondantes ont un rapport an/mrmonique égal, les autres rapports anharmoniques sont égaux de part et cVaiUre,
En effet, en plaçant les deux faisceaux de façon que deux rayons homologues soient sur la même droite, l'égalité de l'un des rapports anharmoniques exigera que les autres rayons homologues se coupent sur
En effet, sdit 0 le point de concours de BB' et de CC', et désignons par ^ le point où OD' rencontre la droite ABC; on aura (312)
(A'B'C'D') = (ABCiï).
Mais on a par hypothèse
(A'B'C'D') = (ABCD); donc
