B7DA) =(B'7D'A

Or, ces deux figures rectilignes ont un point homologue commun 7; donc les droites BB', DD', AA', qui joignent les autres points homologues deux à deux, concourent ( 317 ) en un même point 0.

Ces deux théorèmes, attribués à Desargues, géomètre du xvii' siècle, ont été repris par M. Poncelet [Traité des Propriétés projectiles)^ qui en a fait la base de sa Théorie des figures homologiques. Les deux triangles ABC, A'B'C, qui satisfont aux conditions précédentes, sont dits homolo' giques; le point 0 et la droite x^ sont appelés le centre et l'axe dliomologie,

322. Dans tout hexagone ABCDEF . 323. Dans tota hexagone ABCDEF inscrit à une circonférence , les , circonscrit à un cercle, les trois iliO' points fie concours L, M, N, des trois gonales AD, BE, CF, qui unissent couples de côtés opposés AB e/ DE, les sommets op/wsés, se coupent en BC et EF, CD et AF, sont en ligne , un même point 0 (fig. 107). droite (fig, 206).

Fig. ao6.

Fig. 207.

En effet, on a (314, 1**) (A.BFED) = (C.BFED).

En effet, soient I et M les points où le côté AB rencontre FE et DE, etL et Nies points où CD rencontre AFet

GftOllftTRlE PLANE.

Par saite (312), en coupant le premier faisceau par la droite DE, le second par la droite FE, et nommant G l'intersection de ÂF et de DE, I Tintersection de £F et de CD, on aura

(LGED) = (MFEI).

Or, ces deux figures rectilignes ont un point homologue commun £; donc (317) les droites LM, GF, DI, qui joignent les autres points homologues deux à deux, se coupent en un même point N. Les trois points L, M, N, sont donc en ligne droite.

Ce théorème, dû à Pascal, et la démonstration si simple que nous venons d'exposer, subsistent quand même Thexagone cesse d'être convexe.

FE-, on aura (3ii, a**), en considérant les deux côtés non contigus AB et CD coupés par les quatre autres,

(BAIM) = (CLND).

Par suite,

(E.BAIM) = (F.CLND).

Or, ces deux faisceaux ont un rayon homologue commun IN; donc (315) les points de concours 0, A, D, des trois autres couples EB et PC, EA et FL, EM et FD, de rayons homologues, sont en ligne droite. Les trois droites AD, BE, CF, passent donc par un même point 0.

Ce théorème est dû à Brianchon {Journ. (le r École Poljt,, 1 3* cahier) , qui l'a déduit du théorème de Pascal par la considération des polaires, comme nous le verrons bientôt.

324. Si Ton considère les théorèmes des n'^SlS, 320, 322 d'une part, et les théorèmes des n"* 317, 321, 323 de l'autre, on voit que, dans les premiers, il s'agit de points en ligne droite, et dans les seconds de droites qui concourent en un même /M)int. On distingue en effet, dans la science de l'étendue, deux genres de propositions, les unes se rapportant à des /joints, les autres à des droites, et se correspondant en vertu de ce qu'on a nommé le principe de dualité. Un des grands avantages du rapport anharmonique est de se prêter indifféremment à ces deux genres de propositions corrélatives, et d en fournir des démonstrations directes et^ corrélatives à leur tour. On peut voir, en effet, que, dans les propositions que nous avons placées en regard Tune de* l'autre, on passe de l'énoncé et de la démonstration de Tune à l'énoncé et à la démonstration de l'autre, en substituant certains faisceaux de droites concourantes à certaines séries rectilignes de quatre points, et réciproquement.

325. Le théorème fondamental du n"" 312 était connu des anciens; il so trouve dans les Collections mathématifjues de Pappus, qui vivait à Alexandrie à la fin du iv* siècle, a Aucune autre proposition, dit M. Chasles dans la préface du Traité de Géométrie supérieure, ne me parait aussi propre à servir de lien entre les diverses parties d'une figure dont on veut découvrir ou démontrer les propriétés. La proposition la plus fréquemment employée est celle de la proportionnalité entre les côtés des triangles semblables. Mais ces triangles n'existent pas en général dans les

LIVVB Iir. — LS8 FlfiURXS SUBLABLBS. 1<Kf:

doimëes de la question, et il faut chercher à les former par des lignes auxiliaires, tandis que les rapports anharmoniques s'aperçoivent presque toujours dans la figure même ou peuvent s'y former aisément. »

Proportion harmonique,

326. On dît que quatre points en ligne droite A. B, G, D (fig, aoi). forment un système /tarmom'f/ i/e\orsquB\eur rapport anharmonique(ABCD) est égal à — I, c'est-à-dire lorsqu'on a (306)