ÇA .DA __ '*' CB * DB
On dit en outre que les points G et D sont conjugués harmoniques par rapport aux points A et 6, ou qu'ils divisent harmonique ment le segment AB : et. de même, que les points A et B sont conjugués harmoniques par rapport aux points G et D ou qu'ils divisent harmoniquement le segment GD. Enfin la relation (i) porte le nom de proportion harmonique. Gel le qualification ^Imrmonique, due aux géomètres grecs, provient de ce que. la proportion précédente jouait un certain rôle dans leur théorie des tons musicaux. L'épitbète anliarmonique est due à M. Ghasles.
11 résulte des raisonnements faits au n** 187 : i° que les points conjugués G ^/ D sont toujours situés du même côté par rapport au milieu I du segment AB; a* que si G se confond avec I, son conjugué D est à Vinfni, et inversement que le conjugué de /'oo est le point I. On tirerait d'ailleurs ces mêmes conséquences de la relation (i), laquelle montre en outre : 1** que si A. et B coïncident en un point M différent de G, D coïncide
avec M ; car on a alorS kh = — '^ ^'où DM = — DM, 2 DM = o, DM = o :
2** que si A r/ B étant distincts, G coïncide avec Vun d^cuxy il en est de même de D; car si CA = o, on a DA = o; et si GB = o, on a DB = o. On vojt par là que la proportion harmonique détermine toujours le quatrième point quand on connaît les trois autres, à moins que ceux-ci ne se confondent en un seul, auquel cas le quatrième point reste indéterminé.
THÉORÈME
327. Lorsqu^un segmenf AB est divisé harmoniquement par tleux points G et D, la moitié de ce segment est moyenne pro/iortionnelle entre les distances de son milieu I aux points conjugués G et D, et réciproquement (fig, 208).
En d'autres termes, les relations
CA.DA __ l'J GB DB ~ ''
(2) ÎÂ'= IG.ID,
%IO GÉOMfiTRIB PLANS.
«ont équivalentes. On passe, en effet, de Tune à l'autre à Taide des égalités CA = lA 4- IC, DA = Dl-h lA, CB = lA - IC, DB = DI - lA.
Corollaires.
328. Tout cercle passant par C e/ D coupe or^tltogonalement le cercle ilècrit sur AB comme diamètre [Jig, 208). Car, E étant Tun des deux
points communs aux deux circonférences, la relation IC.ID = lA = lE , qu'on suppose ici satisfaite^ prouve (202) que le cercle 0 est tangent en E au rayon EB, c'est-à-dire que Tangle lEO est droit.
Inversement, quand deux cercles \ et 0 se coupent orthogonalcment, ils divisent harmoniquement toute droite passant par le centre de l'un d^eux; car Tangle lEO étant droit par hypothèse, le rayon lE est tangent au
cercle 0, et l'on a (201) ffi' ou iÂ'= IC.ID.
329. La relation (2) montre que IC augmente lorsque ID diminue; en sorte que, si C et D' sont deux nouveaux points conjugués harmoniques par rapport à A et à B, et situés comme C et D à droite del, les segments CD et CD' seront compris l'un dans l'autre. Ils seraient extérieurs l'un à l'autre si C et D' étaient à gauche do I. Donc, quand deux segments CD, C D', sont conjugués harmoniques par rapport à un troisième AB, ils sont compris l'un dans Vautre y ou ils n'ont aucune partie commune. Et, par suite, lorsque deux segments empiètent en partie l'un sur l'autre, on ne peut pas déterminer deux points qui les divisent Vun et Vautre harmoniquement •
En rapprochant ces propriétés de celles du numéro précédent, on voit que, lorsque deux cercles n*ont aucun point commun, il existe une circonférence qni les coupe l'un et Vautre orthogonalement et qui a son centre sur la ligne des centres des deux cercles; cette circonjérence ri existe plus lorsque les deux cercles se coupent,
330. On appelle faisceau harmonique tout faisceau de quatre droites OA, OB, OC, OD, dont le rapport anharmonique (O.ABCD) est égal à — i, c'est-à-dire (313) tout faisceau qui détermine sur une transversale quelconque un système de quatre points harmoniques {fig, 209). On dit alors <iue les rayons OC et OD sont conjngués harmoniques par rapport aux rayons OA et OB, ou qu'ils divisent harmoniquement V angle OAB; et, de
L1TBB m. — LBS FIGCMS SEMBLABLES. 311
même, que les rayons OÂ et OB sont conjugués harmoniques par rapport aux rayons OC et OD, ou qu'ils dMsent harmoniquement Vangle COD.
11 esl clair, d'après ce qui précède, que, si par un point G pris d'une manière quelconque dans le plan d'un angle OÂB on mène diverses sécantes telles que ACB, et si Ton prend sur chaque sécante le point D conjugué harmonique du point G par rapport au segment ÂB intercepté entre les côtés de l'angle, le lieu du point D sera le rayon OD conjugué harmonique de OG par rapport à l'angle ÂOB. Ainsi, pendant que la sécante tourne autour du point G, le conjugué D de ce point fixe décrit une droite fixe OD. On donne à la droite OD le nom de polaire du point G par rapport à Van^e AOB, et au point G le nom de pôle de la droite OD par rapport au même angle AOB.
THÉORÈME
33i. Dans un faisceau harmonique OA, OB, OG, OD, toute transversale A'B'C'D', parallèle à l'un des rayons OD, est coupée par les trois autres rayons en deux parties égala [/îg- ^09).
Fig. Q09.
En effet, dans le système harmonique A'B'C D', le point D' étant à Tinfini, puisque A'D' est parallèle à OD, son conjugué G' doit être au milieu du segment A' B' (326).
332. Réciproquement, un faisceau de quatre droites OA, OG, OB, OD, est harmonique si une parallèle A'B'G'D' à Vun des rayons est divisée en deux parties égales par les trois autres, •
En effet, le point G' étant le milieu du segment A'B', ce segment est divisé harmoniquement par le point G' et par le point D' situé à l'infini sur A'B', c'est-à-dire par le point G' et par le point d'insersection de A'B' et de OD. Le faisceau divisant harmoniquement la transversale particulière A'G'B'D' divise harmoniquement toute autre transversale ACBD (312), et par suite est un faisceau harmonique.
CoBOLLAIRfiS.
333. Lorsque, dans un faisceau harmonique, deux rayons conjugués OC et OD sont rectangulaires , ces rayons sont les bissectrices des deux angles supplémentaires formés par les deux autres rayons OA et OB; car une transversale A'G'B', perpendiculaire à OG, étant alors parallèle à OD^ on a A'G'= C'B'; par suite, les triangles recUngles OG'A', OG'B', sont égaux, et OC est la bissectrice de l'angle AOB.
312 GÉOMlkTftlB PLANE. .
La proposition réciproque : Un angle quelconque AOB est divisé harmoniquement par sa bissectrice OC et celle OD de son supplément^ résulterait pareillement du n° 332. Elle a d'ailleurs été démontrée directement au n» 193.
THÉORÈME
334. Chacune des trois diagonales d'un quadrilatère complet est divisée Jmrmoniquement par les deux autres (fig. aïo).
Fig. tiio.
On appelle qiuulrilatt're complet le système de quatre droites CB'A, CA'B, C'BA, C A'B'; se coupant deux à deux en six points A, B, C, A', B', C, qu'on nomme les sommets du quadrilatère. Il y a trois diagonales A A', BB', CC', qui forment un triangle aSy, et il s'agit de prouver que chacun des systèraps AyA'a, B'yBp, CxC'ô, est harmonique.
Or, soient x le conjugué harmonique de a par rapport à CC', et z le conjugué harmonique de 7 par rapport à BB* \ xei z devront être l'un et l'autre sur la droite (330) conjuguée harmonique de AA' par rapporta l'angle CAC, el aussi sur la droite conjuguée harmonique de AA' par rap« port à l'angle CA'C; donc, ces deux points x et z coïncident; par suite, ils ne diffèrent pas de Tinterseclion f:^ des droites BB' et CC, et les systèmes CaC'fc, B'vBfî, sont harmoniques. On démontrerait de même que A 7 A' a l'est aussi.
Corollaires.
335. De là résulte un moyen fort simple de construire avec la règle seule le quatrième point harmonique à trois poinis donnés, C, a, C, par exemple (^g,i\o). Menez par a une droite quelconque aA' A ; en joignant aux points C et C deux points A el A' de cetfe droite, vous formerez un quadrilatère* ABA'B' dont la diagonale BB' déterminera le point cherché p.
336. On voit en outre que, .v#, par un point f> pris dans le plan d'un angle CAC, on mène deux transversales ^BB', PC'C, le lieu des points d^ intersection A' des droites BC, B'C, est la polaire du point p parrap^ jjort à l'angle CAC.
De là résulte un moyen fort simple de construire avec la règle seule la polaire d'un point par rapport à un angle. On emploie parfois ce procédé dans les épures pour tracer une droite qui passe par un point donné M
LITRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 2t3
et par le point de concours de deux autres droites AB et BP, lorsque ce point de concours 0 est hors du cadre [fig. 21 1).
On mène alors par M deux sécantes AD, BG; on joint BA et DG, qui se coupent en un certain point H. On fait partir de H une nouvelle sécante HEF; on joint CF et DE^ qui se coupent en I^ et la droite MI est la droite demandée. Ce procédé est commode lorsque le point M est notablement plus rapproché de Tune des deux lignes AE et BF que de l'autre, parce que le point H se trouve alors généralement dans les limites de la feuille de dessin; mais il n'a aucune valeur graphique quand le point M est très-rapproché de la bissectrice de l'angle 0, car alors le point H est trèséloigné et sort généralement du cadre.
Pôle et polaire dans le cercle.
THÉORÈME
337. Si, par un point 0 pris dans le plan dhm cercle C, on mène une sécante quelconque OFE, et qu'on déternnne le conjugué luirnionique I du point 0 par rapport à EF, le lieu géométrique du point I, lorsque la sécante tourne autour du point 0, est une ligne droite perpendiculaire au diamètre AB qui passe par le point 0 [Jig. 2]2etai3).
Fig. ai3.
En effet, déterminons le point du lieu qui est sur le diamètre AB,
2l4 GÊOMÊTRIB PLANE.
c'est-à-dire le point H conjugué harmonique de 0 par rapport à AB. Il suffit pour cela (193) de joindre le poini £ au symétrique F' de F par rapport à AB. Mais alors la droite HO est évidemment bissectrice de l*angle FHF\ etj par suite, la perpendiculaire HZ est bissectrice de Tangle supplémentaire FHL. Or, dans tout triangle HEF^ la base EF est divisée harmoniquement (193) par les bissectrices HZ et HO de Tangle au sommet et de son supplément. Donc, le point I est situé sur la perpendiculaire HZ au diamètre AB.
Corollaires.
338. On dit que le point 0 est le pôle de la droite HZ, et que la droite HZ eil la polaire du point 0 par rapport au cercle G.
Le diamètre AB qui passe par le pôle étant divisé harmoniquement par le pôle 0 et le pied H de la polaire, on a (3i7) en grandeur et en sigue la relation
