Dans uii cercle donné, inscrire un triangle

i** Tel que sa base soit parallèle à une droite donnée, ses deux autres côtés passant respectivement par deux points donnés sur cette droite ;

2° Tel que sa base soit parallèle à une droite donnée, ses deux autres côtés passant respectivement par deux points donnés d'une manière quelconque ;

3° Tel que ses trois côtés passent respectivement par trois points donnés d'une manière quelconque.

287. Construire un triangle, connaissant le produit de deux côtés, la médiane relative au troisième côté et la différence des angles adjacents à ce côté.

288. Construire un triangle, connaissant un angle, la hauteur relative au côté opposé el la somme ou la différence des deux autres côtés.

289. Par deux points donnés, mener à une circonférence donnée deux sécantes qui se coupent sur la circonférence, et dont les deux autres points d'intersection déterminent une corde parallèle à U droite qui joint les deux points donnés.

290. Étant données trois circonférences concentriques, construire un triangle semblable à un triangle donné et qui ait ses sommets respectivement situés sur les trois circonférences données.

291. Construire un carré, connaissant la somme ou la différence de sa diagonale et de son côté.

292. Étant données deux droites qu'on ne peut prolonger, mener par un point donné une droite qui aille passer par le point de concours inconnu des deux premières.

293. Mener par le point d'intersection de deux circonférences une sécante telle, que les cordes interceptées sur elle par les deux circonférences soient dans un rapport donné.

294. On donne deux droites et un point dans leur angle; déterminer sur l'une d'elles un point qui soit à la môme dislance du point donné et de la seconde droite.

293. Partager, lorsque cela est possible, une droite donnée en deux parties telles, que la somme de leurs carrés soit égale à un carré donné.

296. Diviser une droite donnée en deux parties telles, que la somme de leurs carrés soit minimum.

297. Partager une droite donnée en trois parties telles, que la première et la seconde soient dans le rapport de deux droites données M et N, et la seconde et la troisième dans le rapport de deux autres droites données P et Q.

298. Déterminer le point dont les distances aux trois côtés d'un triangle sont proportionnelles à trois droites données.

299. Construire un quadrilatère inscriptible^ connaissant ses quatre côtés. — Déduire de cette construction la réciproque du théorème du n''24i.

300. Construire un trapèze, connaissant les deux diagonales et les deux côtés non parallèles.

301. Par un point donné, faire passer une circonférence qui touche deux droites données.

302. Par un point donné, faire passer une circonférence tangente à deux circonférences données.

303. Par un point donné, faire passer une circonférence tangente à une droite et à une circonférence données.

304. Construire une circonférence tangente à deux droites données et à une circonférence donnée.

308. Construire une circonférence tangente à une droite donnée et à deux circonférences données.

§ VI. — Polygones réguliers,

306. En joignant de deux en deux les sommets d'un pentagone régulier ou en prolongeant ses côtés de deux en deux, les points d'intersection obtenus forment intérieurement ou extérieurement un autre pentagone régulier.

307. Si Ton prolonge deux côtés AB et CD d'un polygone régulier de centre 0, séparés par un seul côté BC, jusqu'à leur renconire en E, le quadrilatère ÂECO est incriptible.

308. Prouver qu'on peut exécuter un pavage, soit avec des triangles équilatéraux, soit avec des carrés, soit avec des hexagones réguliers. — On ne peut le faire en employant des pentagones réguliers ou des polygones réguliers de plus de six côtés.

309. On peut exécuter un pavage, soit en assemblant à la fois des carrés et des octogones réguliers de même côté, soit en assemblant des triangles équilatéraux et des dodécagones réguliers de même côté, soit en assemblant des décagones et des pentagones réguliers de même côté.

310. Un polygone équilaléral inscrit dans un cercle est régulier. — Un

266 GfiOHÊTRIB PLANB.

polygone équilatéral circonscrit à un cercle est régulier, si le nombre de ses côtés est impair.

31 i. Un polygone équiangle inscrit dans un cercle est régulier, si le nombre de ses côtés est impair. — Un polygone équiangle circonscrit à un cercle est relier.

312. Si Ton rapporte un polygone régulier à deux axes coordonnés, les coordonnées de son centre sont respectivement les moyennes arithmétiques des coordonnées de ses différents sommets par rapport aux axes considérés. — Application au triangle équilatéral.

313. Si des sommets d'un triangle équilatéral inscrit, on mène des perpendiculaires sur un diamètre du cercle circonscrit, l'ordonnée qui tombe d'un côté de ce diamètre est égale à la somme des deux ordonnées qui tombent de l'autre côté; de même, Tabscisse qui tombe d'un côté du centre est égale à la somme des deux abscisses qui tombent de l'autre côté.

314. La somme des distances d'un point pris à l'intérieur d'un polygone régulier aux/7i côtés de ce polygone^ est égale à m fois l'apothème. — Considérer le cas où le point choisi est extérieur.

315. Si d'un point P du cercle circonscrit«à un triangle équilatéral ABC,

on mené des droites à ses sommets, la somme PA -H PB -h PC est constante. — Si ÂBCP, A'B 'C ' P ', sont deux cercles concentriques dans lesquels soient inscrits les triangles équilatéraux ABC, A'B'C, on a

ÂP"' -+- BfV CP'* = AT* + FP V Ct'.

316. AB et AC étant les côtés du pentagone et du décagone régulier inscrits dans un cercle dont le centre est 0, on mène la bissectrice de l'angle ÂOC qui coupo en D le côléAB : démontrer la similitude des triangles ACB et ACD, ainsi que celle des triangles AOB et DOB, et en déduire la relation connue

âb'=ïc'4-5â\

317. Deux diagonales d'un pentagone régulier qui n'aboutissent pas au même sommet, se coupent en moyenne et extrême raison.

318. Dans un polygone inscrit d'un nombre de côtés pair, la somme des angles de rang impair est toujours égale à la somme des angles de rang pair. \

§ VII. — Problèmes sur les polygones réguliers,

319. Sur une droite donnée comme côté, décrire un octogone régulier.

320. Inscrire un carré dans l'espace compris entre deux cercles sécants

321. Inscrire un triangle équilatéral dans un carré donné, en plaçant Tun de ses sommets soit en Tun des sommets du carré donné, soit au milieu d'un de ses côtés.

322. Sur une droite donnée comme diagonale, décrire un parallélogramme dont les angles soient doubles Tun de Fautre. — Déduirq- de la solution de ce problème un moyen d'opérer la trisection de l'angle droit.

323. Connaissant le côté d'un polygone régulier inscrit dans un cercle, calculer le côté du polygone régulier inscrit d'un nombre de côtés deux fois moindre. — Appliquer cette formule à la recherche du côté du pentagone régulier, connaissant le côté du décagone régulier.

32^. Sur le diamètre AB d'un cercle 0, on construit un triangle équilatéral ABC ; on divise AB en n parties égales, et l'on joint le sommet C à l'extrémité D de la seconde division; CD prolongée coupe le cercle en F, et l'on demande de calculer la corde AF. — Examiner les cas particuliers de /i = 3, 4, 6.

325. Trouver le lieu des points dont la somme des carrés des distances aux sommets d'un polygone régulier, est constante et égale à un carré donné.

326. Connaissant l'apothèrrte du décagone régulier, calculer son côté et le rayon du cercle circonscrit.

327. Si dans une- circonférence 0, on trace les deux diamètres perpendiculaires AB et CF; si du point D milieu de OC comme centre, avec DA pour rayon, on décrit un arc de cercle jusqu'à sa rencontre au point E avec le diamètre CF : démontrer que OE représente le côté du décagone régulier et AE celui du pentagone régulier inscrit.

328. Calculer les rayons des cercles inscrit et circonscrit au triangle équilatéral, au carré, au pentagone, à l'hexagone, au décagone et au dodécagone, en prenant pour unité le côté du polygone régulier considéré.

329. Calculer l'apothème du pentagone, de Thexagone, du décagone et du dodécagone régulief , en prenant pour unité le rayon du cercle circonscrit.

330. Connaissant le rapport du périmètre d'un polygone régulier inscrit au périmètre du polygone régulier circonscrit semblable, calculer les périmètres de ces deux polygones en prenant pour unité le diamètre du cercle donné.

331 . m étant le rapport des périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit d'un même nombre de côtés, et w' le rapportdes périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit d'un nombre de côtés double, démontrer la relation

332. Inscrire dans un triangle équilatéral donné trois cercles égaux tangents entre eux, et déterminer leur rayon en fonction du côté du triangle.

333. Inscrire dans un carré donné quatre cercles égaux tangents entre eux, et déterminer leur rayon en fonction du côlé du carré.

334. Inscrire dans un cercle donné w cercles égaux tangents entre eux, et déterminer leur rayon en fonction du rayon du cercle donné el de la corde qui sous- tend la /w''*"* partie de sa circonférence.

§ Vin. — Mesure de la rircnnférencr,

335. Dans deux circonférences de rayons différents, le rapport des angles au centre qui interceptent des arcs de même longueur est égal au rapport inverse des rayons.

336. Si deux circonférences so .1 tangentes intérieurement à une troisième circonférence, et si la somme de leurs rayons est égale à celui de cette troisième circonférence, lare compris entre leurs points de contact sur la grande circonférence est égal à la somme des arcs respectivement compris sur les circonférences intérieures entre leur point de rencontre le plus rapproché de la grande circonférence et les mêmes points de contact.

337. Démontrer que ?? est compris entre 3 et 4, par la considération des périmètres de Thexagone régulier inscrit et du carré circonscrit.

338. Quelle erreur commet-on en remplaçant la demi-circonférence d'un cercle par la somme des côtés du triangle équilatéral et du carré inscrits dans ce cercle?

339. Soient dans un cercle 0 le diamètre ÂB et la corde AC égale au rayon; menons le rayon OD perpendiculaire sur AC, et prolongeons-le jusqu'à son point de rencontre en E avec la tangente en A ; portons à partir du point E sur cette tangente, et dans le serfs EA, une longueur EF égale h trois fois le rayon OA ; puis, menons la droite FB. QwçWq erreur commet-on en remplaçant par cette droite la demi-circonférence OA?

340. Si l'on décrit deux demi-cercles égaux sur le diamètre d'un demicercle donné, et si l'on inscrit un cercle dans l'espace compris entre les trois demi -circonférences, le diamètre de ce cercle est à celui des cercles égaux dans le rapport de 2 à 3.

34i. Connaissant les longueurs /?, />>, r, des cordes de trois arcs formant ensemble la derni-circonférence, chercher de quelle équation dépend le diamètre x du cercle considéré.

342. Démontrer que la différence entre un arc moindre qu'une demi-

circonférence et sa corde, est plus petite que le cube de l'arc divisé par seize fois le carré du rayon.