Démontrer les formules

- = — » — 2 ' (indéfiniment) ;

ir = lim.2'"Y 2— y î-+-Va-|-Va4-\/a-l-v/a-h

Dans la dernière formule, le nombre ///, qu'il faut faire croître indéfiniment, est égal au nombre des radicaux placés sous le premier radical.

341. Soient;? elp' les périmètres de deux polygones réguliers inscrits dans le cercle de rayon i, le second polygone ayant deux fois plus de côtés que le premier, et soit b' la corde de Tare qu'il faut ajouter à Tare sous-tendu par le côté de ce second polygone pour former la demi-circonférence : démontrer la formule

en déduire Tinégalilé '

et trouver une limite supérieure de Terreur commise lorsqu'on prend pour TT la valeur approchée/?-!- ^ {p' — p).

§ IX. — Jppendice,

345. Â, B, C, D, étant quatre points en ligne droite, on a, en grandeur et en signe, la relation

AB.CD + AC.DB -h AD.BC = o.

346. Si l'on désigne par p le premier des six rapports anharmoniques distincts

(ABCD), (ACBD), (ADBC), (ABDC), (ACDB), (ADCB),

auxquels donnent lieu quatre points A, B, C, D, en ligne droite, les cinq autres ont respectivement pour valeurs

347. Si les points P et P' divisent harmoniquement la droite AB,

0 étant le milieu de ÂB, I le milieu de PP', et M un point pris arbitrairement 8ur AB, on a

MP.MP' + MA.MB = aMI.MO.

3i8. La moyenne proportionnelle de deux droites, est aussi la moyenne proportionnelle de leur moyenne arithmétique et de leur moyenne harmonique.

349. Si Â, B, C, D et X\B',C'j D', sont deux systèmes de quatre points correspondants, situés sur deux droites distinctes L et L' et ayant même rapport anharmonique, les trois droites PB, PC, PD, issues d*un point quelconque P de AA', coupent respectivement les (rois droites P'B',P'C', P'D', issues d*un autre point quelconque P' de AA', en trois points p, 7, ^, situés en ligue droite.

350. A, B, C, D et A', B', C, D', étant deux systèmes de quatre points correspondants, situés sur deux droites L et L' qui se coupent en A, si Ton prend dans leur plan deux points quelconques 0 et 0', les droites OB, OC, OD, coupent respectivement les droites correspondantes OB', OC', OD', en trois points p, 7, ^, situés en ligne droite.

35i. A, B, C, étant trois points d'une droite L et A', B', C, trois points correspondants d'une autre droite L', prouver que les trois couples de droites AB' et A'B, AC et A'C, BC' et B'C, se coupent en trois points \ fA, V, situés en ligne droite.

352. Si les trois côtés d'un triangle tournent autour de trois points fixes situés en ligne droite, ei si deux sommets glissent sur deux droites fixes, le troisième sommet décrit une ligne droite.

353. Si les côtés d'un polygone tournent autour d'autant de points fixes situés en ligne droite, et si tous les sommets moins un glissent sur des droites fixes, le dernier sommet 'décrit une ligne droite; et il en est de même du point de rencontre de deux côtés quelconques non contigus.

354. Si les trois sommets d'un triangle glissent sur trois droites fixes qui se coupent en un même point, et si deux de ses côtés tournent autour de deux points fixes, le troisième côté passe par un point fixe en ligne droite avec les deux premiers.

355. Si les sommets d*un polygone glissent sur autant de droites fixes qui concourent en un même point, et si tous les côtés moins un tournent autour d'autant de points fixes arbitraires^ le dernier côté passe par un point fixe; et il en est de même d'une diagonale quelconque.

356. Lorsque trois triangles homologiques deux à deux ont le même axe d'homologie, les trois centres d'homologie sont en ligne droite; et lorsque trois triangles homolo<;iques deux à deux ont le même centre d'homologie, les trois axes d'homologie concourent en un même point.

357. Lorsqu'une corde d'un cercle tourne autour d'un point fixe 0, la somme des deux quotients qu'on obtient en divisant la distance de chaque extrémité de la corde à une droite donnée L, par la distance de cette corde à la polaire du point 0, est constante.

358. Lorsque le sommet d*un angle circonscrit à un cercle décrit une droite L, la somme des deux quotients qu'on obtient en divisant les distances de chaque côté de l'angle à un point fixe et au pôle de L est constante.

359. Les. polaires des différents points de l'axe radical de deux cercles se coupent sur cet axe; et réciproquement, si les polaires de chaque point d'une droite par rapport à deux cercles se coupent sur cette droite, elle est l'axe radical des deux cercles.

360. Les pôles de l'axe radical de deux cercles, pris par rapport à ces cercles, divisent harmoniquement la droite qui joint leurs centres de similitude.

361. Si du centre de similitude de deux circonférences on leur mène deux sécantes, les cordes qui joignent dans les deux circonférences les points d'intersection correspondants sont parallèles; et des huit points d'intersection obtenus, quatre quelconques ( non situés sur la même sécante) se trouvent sur une même circonférence, pourvu que parmi les quatre points choisis il n'y en ait pas deux homologues.

362. Un cercle 0 inscrit dans un quadrilatère ABCD, touchant ses côtés aux points E, F, G, H, si Ton joint le point d'intersection K des droites EH et FG au centre 0, la droite KO est perpendiculaire sur la diagonale AC.

363. Quand un quadrilatère est circonscrit à deux cercles, chaque diagonale coupe la ligne des centres en un point qui a la même polaire par rapport aux deux cercles.

364. Si Ton divise un quadrilatère en deux autres par une sécante quelconque, les points de rencontre des diagonales des trois quadrilatères sont trois points en ligne droite.

365. Le rapport anharmonique de quatre points d'un cercle est égal au rapport des produits des côtés opposés du quadrilatère inscrit déterminé par ces quatre points.

366. Trois cercles. 0, 0', 0", étant donnés, en décrivant un quatrième cercle quelconque b> et prenant les axes radicaux du cercle &> et de chacun des cercles donnés, on forme un triangle ABC; en décrivant un autre cercle w', on obtient d'une manière analogue un second triangle A'B'C: démontrer que les triangles ABC, A'B'C, sont homologiques.

367. Lorsqu'une série de cercles ayant leurs centres sur une droite

272 GÊOHÉTRIE PLANE.

donnée coupent orthogonaicment un cercl'e donné, leur axe radical commun est la perpendiculaire abaissée du centre du cercle donné sur la droite donnée.

368. Les trois cercles décrits sur les trois diagonales d un quadrilatèi-e complet, comme diamètres, ont deux à deux le même axe radical et coupent orthogonaicment le cercle circonscrit au triangle formé par les trois diagonales.

369. Lorsque deux triangles sont polaires réciproques par rapport à un cercle situé dans leur plan, ils sont homologiques.

370. Si la base d'un triangle est fixQ^ la somme ou la difféiencc des deux autres côtés restant constante, la polaire du sommet par rapport à un cercle quelconque, ayant pour centre Tune des extrémités de la base donnée, touche constamment un cercle fixe.

374. ABC étant un triangle donné, et «, b, r, les projections des sommets A, B, C, sur les côtés opposés, les trois couples de droites ab et AB, bc et BC, ca et CA, se coupent en trois points 7, a, p, situés sur Taxe radical des cercles circonscrits aux triangles ABC et abc,

372. Toute tangente commune à deux cercles donnes est divisée harmoniquement par tout cercle dont les axes radicaux avec chacun des cercles donnés se confondent.

373. Dans un cercle donné, inscrire un quadrilatère dont on connaît les trois diagonales.

374. Un triangle étant donné, construire un cercle tel, que chaque sommet du triangle soit, par rapport a ce cercle, le pôle du côté opposé.

375. Décrire un cercle passant par un point donné et coupant orthogonaicment deux cercles donnés.

376. Étant donnés trois cercles, en décrire un quatrième tel, que les trois axes radicaux de ce cercle, comparé successivement à chacun des trois premiers, passent par trois points donnés.

377. Étant donnés six points A, B, C, D, E, F, sur une circonférence, marquer sur cette ligne un septième point X tel, que les rapports anharmoniques (XAEC), (XDBF), soient égaux. — Même question en supposant les six points sur une droite donnée.

378. Étant donnés un polygone de /i côlés et n points placés arbitrairement, inscrire dans ce polygone un autre polygone dont les n côtés passent respectivement par les n points donnés.

379. Étant donné un triangle coupé par une transversale, si sur chaque côté on prend le conjugué harmonique du point de rencontre de la transversale par rapport aux extrémités de ce côté, les droites qui joignent les

trois points ainsi obtenus aux sommets opposés passent par un même point. — En déduire le théorème du n** 396, relatif aux médianes d'un triangle.

380. Ëtant donné un triangle coupé par une transversale, si sur deux côtés on prend le conjugué harmonique du point de rencontre de la transversale par rapport aux extrémités du côté considéré, les deux points ainsi obtenus et le point où la transversale coupe le troisième côté sont en ligne droite.

381 . Un triangle ÂBC inscrit dans un cercle 0, étant coupé aux points fl, by Cj par une transversale, si a, p, 7, représentent les longueurs des tangentes menées des points a, b^ c, au cercle 0 ; démontrer la relation

GL.p.y = Ab.hcCa = Ac.ha.Cb.

382. Quatre droites dans un même plan, prises trois à trois, forment quatre triangles, dans chacun desquels existe un point de rencontre des hauteurs; démontrer que ces quatre points sont en ligne droite.

383. Un triangle PQR étant circonscrit à un cercle 0, on forme un second triangle ABC ayant pour sommets les milieux des côtés du premier; des points A, fi, C, on mène au cercle 0 des tangentes qui rencontrent en «, bt c, les côtés opposés du triangle ABC; démontrer que les points a, b, c, sont en ligne droite.

274 GÉOVÉTRIB PLANE.