V. — APPENDICE

Jire rrpprrfc/iée d' une figure pla/ie terminée par une courbe quelconque,

468. Formule de Simpson, — - B et B' désignant les bases d*un trapèze, B" la parallèle ëquidislante de ces bases et /i la demi- hauteur, on peiH exprimer Taire du trapèze par la formule

qui se réduit en effet à la formule connue /i (B + B'), lorsqu'on y remplace B'par sa valeur^ (B-f-B').

Cela posé, soit à évaluer approximativement l'aire comprise entre un arc de courbe quelconque AB, une droite fixe XY et les perpendiculaires AA', BB', abaissées sur cette droite par les extrémités de Tare AB ( /g, a63 ).

Supposons d'abord que Tare AB soit, dans toute son étendue, concave vers la droite XY. Divisons la base A'B' en un nombre pair de parties égales, en dix par exemple, et par les points de division C, D', E', F',G', H', r, K', L', élevons des perpendiculaires à XY. Désignons respectivement par y-p J,. /j.. . -, /,,» les perpendiculaires ou ordonnées AA', CC, DD',. . ., BB', et par /i la distance constante de deux ordonnées consécutives. C, étant le point où la corde AD coupe CC, on aura pour Taire du trapèze rectiligne ADD'A'

3(AA'-hDD'-h4C,C');

'lO

3o6 GÉOMÉTRIE PLANE.

mais ce trapèze est moindre que le trapèze curviligne ÂCDD'Â', et il convient de l'augmenter ; on est ainsi conduit à remplacer C,C' par CC, et à prendre pour valeur approrhée de l'aire du trapèze curviligne ACDD'A' l'expression

En prenant de même

3(r7+r9+4rj, 3(r»H-r.,4-4r,.)

pour expressions des aires des trapèzes curvilignes DFF'D', FHH'F', HKK'H', KBB'K', et faisant la somme, on obtient pour valeur approchée de Taire demandée

s= jLr, -hj.. 4-ti (r^ +rs -^x-. -4-j,H-4 (r, 4-r. + j.4-j. -h r.j].

On retient aisément cette formule, attribuée à Simpson, en la mettant sous la forme

dans laquelle E désigne la somme des deux ordonnées extrêmes, I la somme des autres ordonnées de rang impair, et P la somme de toutes les ordonnées de rang pair.

Formule de Po/icelct, — La base A'B' doit ici encore être partagée en un nombre pair de parties égales, dix par exemple (^g, 264 ). Nous dési-

gnerons les onze ordonnées correspondantes par r,, j,, X^" -i Jio» Jn- Par les extrémités de toutes les ordonnés de ranf; pair y ^^ y^^, . ., j„, menons des tangentes à la courbe AB, et terminons ces tangentes aux deux ordonnées voisines. Nous formerons ainsi une série de trapèzes dont

LIVBB IV. — LES AIBBS. 3o7

la somme, évidemment supérieure à Taire cherchée dans le cas de la figure, sera une limite supérieure du résultat demandé. En appelant h l'inten'alle constant entre deux ordonnées consécutive:^,

on a

trapèze AD' = 2 /<./,,

trapèze DF'= '^h.y^.

trapèze KB' = a /i .j„.

En désignant par S la somme de ces trapèzes, il vient

la parenthèse renferme toutes les ordonnées de rang pair. En désigndint leur somme par P, on aura donc

Menons les cordes AC et BL, qui correspondent aux divisions extrêmes; puis, dans l'intervalle, les cordes CE, EG, GI, IL, qui correspondent chacune à deux divisions. Nous formerons une nouvelle pcrie de trapèzes dont la somme sera une limite inférieure du résultat demandé. On a

lrapèzeAC' = /i(^J^A,

trapèze CE' = 2 A {h±î±\,

trapèze IL' = aA ('^'"^•^"V trapèze LB' ^ h i ^^^^^^^iiA .

En désignant par .v la somme de ces trapèzes, il vient «

ou bien, en ajoutant et en retranchant dans la parenthèse ^-^ — ^-^, ,^;,/.r,+r,..r.jy^^,pV

A étant Taire cherchée, on a

Main la moyenne — ;— ^ tombe aussi entre .vetS. On peut donc, sauf une

5o8 GÉOMÉTRIE PLàNE.

erreur que nous estimerons, prendre

dans cette formule, P désigne, comme nous Tavons dit, la somme de toutes les ordonnées de rang pair, E est la somme des deux ordonnées extrêmes, E' est la somme des deux ordonnées voisines desdeux extrêmes.

L'avantage de cette formule, quand le nombre des divisions est grand, c'est qu'il n'y entre que les ordonnées de rang pair et les deux ordonnées extrêmes, ce qui dispense de calculer les ordonnées intermédiaires de rang impair.

Il reste à indiquer une limite supérieure de Terreur commise en em-

ployant la formule. Comme A tombe entre S et ou entre —7-^ et ^,

l'erreur que l'on fait en substituant '- à A est moindre que S-— ^ —

ou que ^, c est-à-dire que

Menons sur la figure les droites AB et CL; ces deux droites coupent l'ordonnée du milieu GG' en deux points M et N, et l'on a

c'est-à-dire

La limite supérieure de l'erreur commise s'exprime donc géométriquement par le produit