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Supposons d'abord que le polygone donné soit un carré, et soit A son côté. Si X est le côté du carré cherché, on devra avoir (429)

LIYEE IV. — LBS AIRBS. 3p3

La question est donc de construire un triangle rectangle tel, que le rapport des segments déterminés sur l'hypoténuse par la perpendiculaire abaissée du sommet de Fangle droit soit

égal à =^ (433), et que le côté adjacent au segment qui correspond à N soit égal à À.

Or, en portant sur une droite indéfinie BC = M, CD = N, en décrivant une demi-circonférence sur BD comme diamètre, et en menant à BD la perpendiculaire CE jusqu'à la rencontre de cette demi-circonférence, on obtiendra un triangle rectangle BED dans lequel les segments de Thypoténuse présenteront le rapport demandé. 11 en sera de même (218) pour tous les triangles rectangles semblables qu'on formera en menant entre les côtés de l'angle droit BED, prolongés ou non, une parallèle à l'hypoténuse BD. Parmi tous ces triangles, celui dont le côté, dirigé suivant ED, est égal à A, répond à la question,

On portera donc sur ED la longueur EG = A; par le point G, on mènera à BD la parallèle GF jusqu'à la rencontre de EB, et FE représentera le côté du carré cherché. On a, en effet,

êf'__fh bc êf' m

^""HG"^CD ^" A' ""N'

464. Soit maintenant un polygone quelconque P, soient p l'un de ses côtés et x le côté homologue du polygone cherché X. On devra avoir, d'après l'énoncé,

d'où

Le problème se trouve donc ramené à trouver le côté d'un carré qui soit à un carré donné dans le rapport de deux droites données, question que nous venons de résoudre. Quand on aura obtenu le côté x homologue de />, il restera à construire sur ce côté un polygone semblable au polygone P.

3o4 GÉOMÉTRIE PLANE.

k%5. Dans le cas de deux cercles, en désignant par x et r leurs rayons, on devra avoir

C'est encore le même problème.

SCOLIK.

M &>66. Si le rapport ^ élait donné numériquement et égal,

par exemple, à -> on choisirait une certaine longueur pour

unité, et Ton rentrerait dans le cas précédent en prenant les droites BC et CD égales à cinq fois et à sept fois cette longueur.

-407. On peut aussi, dans ce cas, opérer de la manière suivante. Soit

— . = -. Sur KH, côté du carré donné, comme diamètre (^. 261), décrivez une demi-circonférence. Divisez KH au point I dans le rapport de 5

Fig. 262.

à 2 = 7 — 5, et menez à KIl la perpendiculaire IL. La droite KL sera le côté du carré cherché. On a, en effet ( 433),

kT K1__ 5 ^^-TKH-f

Si le rapport -^ est plus grand que i et égal à 7» par exemple, divisez

le côté donné KH (^g. 262), au point I, dans le rapport de 7a 2 = 7 — 5- Décrivez sur Kl comme diamètre une demi-circonférence, et menez au point H à Kl la perpendiculaire HL. La droite KL sera le côté du carré cherché. On a en effet (433)

d'où

KH Kl ~