OC.OD + AC.BD = OK.OH

526. ABCD étant un quadrilatère quelconque et T le point de concours des perpendiculaires menées par les extrémités du côté AB aux côtés ad* jajcents AD et BC, démontrer que la perpendiculaire menée par le point T sur la droite qui joint les milieux des diagonales du quadrilatère, divise le côté AB en deux segments proportionnels aux projections des côtés BC et AD sur AB.

527.. La somme algébrique des perpendiculaires abaissées des sommets d'up. pQlygone régulier. sur une droite menée par son centre, est nulle quelle que soit la direction de cette droite.

528. Étant donnés un triangle ABC et des droites A a, B^, Ce, qui allant des sommets aux côtés opposés se rencontrent en un même ))oint, on fait passer un cercle par les trois points /v, b^ c, lequel coupe les mêmes côtés

328 GfiOHÉTRIB PLAIIB.

dtt triangle en trois autres points a\ h\ c' ; démontrer que les droites ka\ B6\ Ç,c\ se rencontrent aussi en un même point.

529. D*un point pris dans Fintérieur d*un triangle ABC, on mène des sommets aux côtés opposés les droites AH, BE, CF, puis on joint deux à deux les points H, E, F; démontrer que les droites AH, 6E, CF, sont alors divisées harmoniqiiement. — Inversement, si une droite AH est divisée harmoniquement en G et D, et si F est un point d*une autre droite AB, les intersections E et C des droites FGr et 6D, FD et BH, sont en ligne

' droite avec le point A.

530. Par le sommet A d'un triangle ABC, mener une droite telle, que les perpendiculaires BB', CC, abaissées sur elle des extrémités de la base, forment des triangles rectangles ABB', ACC, équivalents.

531. L'aire d'un quadrilatère quelconque ABCD est égale à l'aire du triangle ayant pour base l'un des côiés AB et pour sommet le point de concours des deux diagonales, plus trois fois le triangle ayant pour base le côté CD et pour sommet le point de concours des deux droites qui joignent les centres de gravité des triangles ABC et CDA et des triangles BCD et DAB.

532. Inscrire un carré dans un parallélogramme. — Discussion.

533. Étant donné un quadrilatère ABCD, si Ton prend à volonté un point M sur AB et un point N sur CD, et que l'on mène les droites AN et DM qui se coupent en P, puis les droites CM et BN qui se coupent en Q, la droite PQ passe par un point fixe.

534. Décrire un cercle tangent à deux cercles donnés et qui passe par un point donné de leur axe radical.

535. Démontrer que le cercle qui passe par les milieux des côtés d'un triangle touche les cercles inscrit et ex-inscrits à ce triangle.

536. Étant donnés deux points A et B et deux circonférences passant, l'une par A, l'autre par B, trouver sur l'axe radical de ces circonférences un point C tel, que la droite qui unit les secondes extrémités des cordes déterminées par les sécantes CA et CB soit perpendiculaire à cet axe radical.

537. Deux triangles circonscrits à un cercle donné de rayon R et ayant leurs côtés parallèles deux à deux, déterminent en s'entrecoupant six triangles partiels ; démontrer que le produit des surfaces de ces six triangles et des deux triangles donnés est égal à la seizième puissance du rayon R.

FIN DE Là GÉOMÉTRIE PJUANB.

TRAITÉ

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