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510. On donne un point C quelconque 8ur une droite AB; trouver' sur CB et sur CB prolongée les poinls D et D' tels, que CD soit la moyenne proportionnelle de AD et de BD, CD' la moyenne proportionnelle de AD' et de 6D'.

5il. AB est divisée au point C en moyenne et extrême raison; sur le plus grand segment CA prolongé, on prend AD = CA, et sur CA on prend AE ^ BG; démontrer que les droites BD et BE sont aussi divisé^ en moyenne et extrême raison aux points A et C.

512. AB, AC, DE, DF, étant quatre droites qui, par leurs intersections trois à trois, forment quatre triangles, démontrer que les cercles circonscrits à ces triangles passent par un même point.

513. Si Ton prolonge la base d'un triangle de part et d*àutre, de manière que chaque prolongement soit égal au côté adjacent, et si Ton fait passer un cercle par les extrémités obtenues et le sommet du triangle, la droite qui joindra ce sommet au centre du cercle sera la bissectrice de Tangle au sommet.

514. La droite AB étant divisée au point G en moyenne et extrènxe raison, démontrer que le rapport des segments AC et CB est incommensurable.

515. Démontrer par la Géométrie que, si quatre droites sont en proportion, la somme de la plus grande et de la plus petite est supérieure à la somme des deux autres.

516. Les côtés d'un triangle étant en progression arithmétique, a et a' étant le plus petit et le plus grand côté, R et r les rayons des cercles circonscrit et inscrit au triangle, on a

6Rr=/7û'.

517. Construire un triangle rectangle, connaissant la somme des deux côtés de l'angle droit et la somme formée par Tun d'eux et Thypolénuse.

518. Du sommet A de l'angle droit d'uii triangle rectangle ABC, on abaisse kp perpendiculaire sur l'hypoténuse BC, pti perpendiculaire sur AB, qr perpendiculaire sur BC, rs perpendiculaire sur AB, et ainsi de suite indéOniment; démontrer que le rapport de la somme de ces perpendiculaires à AB est égal au rapport de AB + BC à AC.

519. On a dans un cercle une corde CD parallèle à une droite de longueur donnée AB; la droite AC cou|)ant le cercle une seconde fois en E, et la droite BE une seconde fois en F, démontrer que la droite DF coupe AB en un point fixe, quand la corde CD se déplace parallèlement à ellemême.

520. Dans un triangle inscrit ABC, on mèq^e par le sommet A jusqu'à

LIVUE IV. — LES AIHES. 3^7

la basé BC' des parallèles AD et A£ aux tangefites en C et en B j dém6:rtrer la relation

BE ^ Âb'

52i. Le côté d'un polygone est divisé en n parties; sur chacune de ces parties, on construit par rapport au polygone: donné un polygone semblable et semblablement placé ; démontrer que la somme des périmètres de tous ces polygones est égale au périmètre du polygone donné, et que la somme de leurs aires (si la côté du polygone donné a été divisé en n parties égales) est égale à la w*^' partie de ce polygone.

522. Si Ton désigne par^,^, c, les trois côtés d'un triangle ABC, et si ka\ l^b\ Ç*c\ sont les bissectrices do ces angles, on a la relation

323. Si A«, B^, Ce, sont les droites menéee des sommets d'un triangle aux points de contact dés côtés opposés avec le cercle inscrit, on a

A^.C^.B<: = Ac.Bfl.C6. •

524. Si Ton prolonge le côlé AB d'un triangle ABC jusqu'en D, et si I!on prend CF^ BD sur le côté CV^ la base BÇ divise la droite DF dans le rapport des côtés AC et AB; de même, la droite DF divise BC dans te rapport des segments AF et AD.

525.. Soient deux cercles extérieurs Tun à l'autre dont les deux tangentes communes intérieures, qui correspondent aux rayons AC et BQ^ se rencontrent en 0 et coupent aux points K et H l'une des tangentes communes extérieures; démontrer la relation