L'intersection de deux plans est une ligne droite

En effet, si sur la ligne commune aux deux plans on pouvait trouver trois points non en ligne droite, les deux plans ne seraient pas distincts; ils coïncideraient (481) dans toute leur étendue.

SCOLIE

489. L'intersection de trois plans est, en général, un point. C'est le point où la droite commune aux deux premiers plans rencontre le troisième.

§ n. - DROITES PARALLÈLES ET ANGLE 0E DEUX DROITES,

DÉFINITIONS

490. Deux droites AB et CD étant données d'une manière quelconque dans l'espace, le plan P^ mené par AB et par un

4*. GtiOMÉTKIB BANS l'bSPAGB.

point quelconque D de CD, peut couper cette droite CD ou la contenir tout entière.

Dans le premier cas ( J7g. 267 ), il n'existe aucun plan qui contienne à la fois les deux droites AB et CD; car un tel plan ayant la droite AB et le point D communs avec le plan P, devrait coïncider avec lui (481), et par suite le plan P contiendrait la droite CD, tandis qu'il la coupe par hypothèse. Les deux droites AB et CD» n'étant pas situées dans un même plan, ne peuvent ni se rencontrer (483) ni être parallèles (484).

491 . On voit par là que, pour prouver le parallélisme de deux droites de l 'espace» Une suffira plus, comme en Géométrie plane, d^établir qu'elles ne se rencontrent pas, si loin qu'on les prolonge; ilfaudruy en outre, montrer qu'elles sont situées dans un même plan.

492. Observons encore que quand deux droites AB et CD sont parallèles, tout plan P qui coupe Vune AB coupe l'autre CD {fig. 270).

Fig. 270.

En effet, puisque la droite AB coupe le plan P, le plan ABDC des deux parallèles et le plan P se rencontrent suivant une droite BX qui, coupant AB, coupe sa parallèle CD (60). Par suite, CD coupe le plan P.

THÉORÈME

493. Deux droites kk! et BB', parallèles à une troisième CC, sont parallèles entres elles [fig* ^-70'

D'abord, les deux droites A A' et BB' ne peuvent pas se rencontrer; sans quoi, de' leur point d'intersection, on pourrait mener deux parallèles à CC (485). 11 suffit donc de prouver qu'elles sont dans un même plan, c'est-à-dire que le plan A' AB déterminé par AA' et un point B de BB' contient BB'. Or, si ce plan coupait la droite BB', il couperait sa parallèle CC (492);

LIVRB Y. — LB PLAN. 5.

et coupant CC% il devrait couper sa parallèle AA% tandis qu'il la contient par hypothèse.

THÉORÈME

494. Deux angles qui ont leurs côtés respectivement parais lèles sont égaux ou supplémentaires.

i« Deux angles BAC, B'A'C, dont les côtés AB et A^B', AC et A' C, sont deux à deux parallèles et de même sens, sont égaux (/g'. 271).

En effet, prenons A' B' = AB, A' C = AC et menons AA', BB', CC; BC, B'C. Les deux droites AB et A'B' étant égales et parallèles, la figure ABB'A' est un parallélogramme, et par suite BB' est égale et parallèle à AA'. On verrait de même que CC est égale et parallèle à AA'. Donc (493) BB' et CC sont égales et parallèles, la figure BB' C C est un parallélogramme et BC = B'C. Les triangles ABC, A' B'C, étant égaux comme ayant leurs côtés égaux chacun à chacun, les angles BAC, B'A'C, sont égaux.

2« Deux angles, dont les côtés sont deux à deux parallèles et de sens contraires, sont égaux. ,

3" Deux angles, qui ont deux côtés parallèles et de même sens et deux côtés parallèles et de sens contraire, sont supplémentaires.

Pour ces deux derniers cas, le raisonnement est le même qu'en Géométrie plane (70).

SCOLIB.

495. Sur une droite quelconque MN (Jig. 271), il y a deux sens à distinguer : le sens de MN, et le sens contraire, celui de NM.

On appelle angle de deux droites, dont la position dans Tespace et le sens sont donnés, Fangle que Ton forme en

menant par un point quelconque de Tespace, à chacune des droites données, une droite parallèle et de même sens. Ainsi, MN et PQ (fig. 271) étant les deux droites données, par un point quelconque A de Tespace, menons AB parallèle à MN et de même sens, AC parallèle à PQ et de même sens ; l'angle BAC sera, par définition, Tangle des deux droites MN et PQ.

Pour que cette définition n'offre rien de contradictoire, il faut que la grandeur de l'angle ainsi obtenu soit indépendante de la position qu'occupe dans l'espace le point par lequel on mène des parallèles aux droites données. Or, soient BAC et B'A'C les valeurs obtenues pour l'angle de MN et de PQ, en menant à ces droites des parallèles par deux points différents A et A'. AC et A' C, étant chacune parallèles à MN et de même sens que cette droite, sont parallèles et de même sens (4*9.3); il en est de même pour AB et A'B'; par suite, les deux angles BAC, B' A'C, sont égaux ( 494-, i»).

496. On dit que deux droites non situées dans le même plan sont perpendiculaires l'une à l'autre, lorsque leur angle (495) est droit.

On voit, par la définition même de l'angle de deux droites, que lorsque deux droites sont perpendiculaires entre elles, toute parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre.