LIVRE V. — LE PLAN. I I

parallèle CD à cette droite est perpendiculaire à ce plan

En effet, toute droite EF du plan P, étant perpendiculaire à AB, est aussi perpendiculaire à sa parallèle CD, qui, par suite, est perpendiculaire au plan P.

514. Une droite est diie oblique à un plan, lorsqu'elle rencontre ce plan sans lui être perpendiculaire.

Fig. 277. Fig. 378.

THÉORÈME

615. Si une droite AB est perpendiculaire au plan P, toute parallèle CD au plan P est perpendiculaire à la droite AB (Jig- ^78).

En effet, si par le point A, où AB rencontre le plan P, on mène AE parallèle à CD, cette droite AE sera contenue dans le plan P (498); par suite (512), Tangle BAE sera droite et comme cet angle est égal à Tangle des deux droites AB et CD (496), on voit que ces deux droites sont perpendiculaires l'une à l'autre.

516. Réciproquement, si une droite AB est perpendiculaire à un plan P, toute perpendiculaire CD à la droite AB est parallèle au plan P ou située dans ce plan [fig* 278).

En effet, menons par le point A la parallèle AE à CD: l'angle BAE sera droit. Par suite, la droite AE sera contenue dans le plan P, car sans cela le plan BAE couperait le plan P suivant une autre perpendiculaire à AB (512), et l'on aurait au point A, dans le plan BAE, deux perpendiculaires sur BA, ce qui est impossible. Dès lors, la droite CD étant parallèle à une droite AE du plan P, est parallèle à ce plan ou située dans ce plan (498).

COROLLAIKE.

517. Si deux plans V et Q sont parallèles, toute droite D perpendiculaire à l'un P est perpendiculaire à Vautre Q; ou

Iti. GtOHtTBIE DANS l'bSPXCE.

plus brièvement» deux plans parallèles ont leurs perpendiculaires communes.

En effet, toutes les droites du plan Q, étant parallèles au plan Py sont perpendiculaires à la droite D (515)^ qui, par suite, est perpendiculaire au plan Q (512).

THÉORÈME

618. Par un point donné A on peut toujours mener une droite perpendiculaire à un plan donné P, et on ne peut en mener qu*une.

i"* Supposons le point A extérieur au plan P (Jig. 27g).

La distance du point A à un point quelconque M du plan P varie avec la position du point M dans ce plan; car si le point M se déplace, par exemple, sur une droite EF du plan P, la longueur AM croît à mesure que lé point M s'écarte du pied G de la perpendiculaire AG, abaissée du point A sur la droite EF dans le plan AEF. Cette distance variable du point A aux divers points du plan P ne peut évidemment devenir aussi petite que Ton veut, puisque le point A est hors du plan P; donc elle ne descend pas au-dessous d'une certaine limite : en d'autres termes, elle est susceptible d'un minimum. D'ailleurs, parmi les droites qui unissent le point A aux divers points du plan P, il n'en est qu'une qui possède celte longueur minimum, car cette longueur minimum ne saurait appartenir à deux droites égaies, telles que AC et AD, puisque la médiane AI du triangle isocèle ACD est moindre que chacune d'elles. Enfin, celte droite unique AB, de longueur minimum, dont nous venons de prouver l'existence, est perpendiculaire à une droite quelconque EF du plan. En effet, en menant par le point B, où AB perce le plan P, la parallèle BH à EF, on forme un angle ABH égal à celui des deux droites BA et EF (495); or, celle parallèle BH est située dans le plan BEF, c'est-à-dire dans le plan P; de plus, la droite AB, plus courte distance du point A au plan P, est en particulier la plus courte distance du point A à la droite KBH de ce plan; donc AB est perpendi* culaire à BH, et, par suite, à EF. Ainsi, on peut mener du point A une droite AB qui soit perpendiculaire à une droite

LIVRB V. — LE PLAN. l3.

quelconque du plan P, c'esl-à-dîre (612) qui soil perpendiculaire à ce plan.

On ne peut en mener qu'une. En effet, toute autre droite AM issue du point A est oblique au plan P, puisque, le triangle AMB étant rectangle en B, l'angle AMB est aigu.

Fijj. 379. FIg. aSo.

fB

2<> Supposons le point A situé dans le plan P (Jig. 280).

Soit Q un plan parallèle au plan P. Les plans parallèles P et Q ayant leurs perpendiculaires communes (513), dire que par le point A on peut élever une perpendiculaire au plan P et qu'on ne peut en élever qu'une, c'est dire que du point A on peut abaisser une perpendiculaire sur le plan Q, et qu'on ne peut en abaisser qu'une ; or c'est ce que nous venons d'établir (i").

Corollaire.

519. Deux droites AB et CD perpendiculaires à un même plan P sont parallèles (Jig. 277); car, si Ton imagine par un point quelconque C de CD la parallèle à AB, cette parallèle sera perpendiculaire au plan P (513); elle coïncidera donc avec CD, puisque du point C on ne peut mener qu'une perpendiculaire au plan P.

SCOLIES

520. En géométrie, le mot distance est toujours synonyme déplus courte distance. D'après cela, il résulte du raisonnement fait au n** 518 (i*^), que la distance d*un point k à un plan P est la longueur de la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan.

11 résulte de là, ainsi que des n°* 501, 510 et 519, que : I" une droite et un plan parallèles sont partout équidistants : 2" deux plans parallèles sont partout équidistants.

l4. GÉOMÉTRIE DANS l'bSPACB.

THÉORÈME

521. Par un point donné A, on peut toujours mener un plan perpendiculaire sur une droite donnée XY, et on ne peut en mener qu'un,

!• Supposons le point A situé sur la droite XY [Jig, 282 ).

Considérons à part un plan Q {Jig. 381), et la perpendiculaire HO élevée sur ce plan par l'un de ses points H pris à volonté; puis transportons cette figure tout d'une pièce, de manière que la droite OH s'applique sur la droite XY de la Jig. 282, et que le point H tombe en A; le plan Q, dans sa nouvelle position P, sera un plan perpendiculaire à XY au point A.

On ne peut en mener qu'un. En effet, soient AB et AG (Jig, 282) deux droites menées par le point A à angle droit sur XY; tout plan perpendiculaire à XY au point donné A doit ( 516) contenir chacune des droites AB et AC; or, par ces deux droites on ne peut conduire qu'un seul plan (tô3).

2*> Supposons le point A extérieur à la droite XY [Jig. 283).

Soit UZ la parallèle à XY menée par A. Les droites parallèles XY et UZ ayant leurs plans perpendiculaires communs (513), dire que par le point A on peut abaisser un plan perpendiculaire sur XY et qu'on ne peut en abaisser qu'un, c'est dire que par le point A on peut élever un plan perpendiculaire sur UZ et qu'on ne peut en élever qu'un ; or c'est ce que nous venons d'établir (i**).

Fig. 281. Fig. Q82. Fig. a83.