IX

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Corollaire.

522. Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles; car, s'ils se rencontraient, d'un point de leur intersection on pourrait mener deux plans perpendiculaires sur la même droite, ce qui est impossible.

UVRB V. — LE PLAN. l5.

SCOLIES

523. Le lieu géométrique des perpendiculaires que l 'on peut mener à une droite AB par un point C est le plan P mené par ee point perpendiculairement à la droite AB (fig' 284); car Tune quelconque CD de ces perpendiculaires doit ( 516 ) n'avoir aucun point commun avec le plan P ou y être contenue tout entière : c'est ce dernier cas qui a lieu ici, puisque la droite CD a déjà un point C commun avec le plan P.

52ii'. Le lieu des points de l'espace équidistants des extrémités d'une droite XY est le plan élevé perpendiculairement sur le milieu de cette droite [Jig, 282). En effet, dans un plan quelconque XYB passant par XY, le lieu des points équidistants des extrémités de cette droite est la perpendiculaire AB élevée dans ce plan sur le milieu A de XY; or, on vient de voir que le lieu des diverses perpendiculaires élevées sur XY par le point A est le plan mené par ce point perpendiculairement à XY. ^ ^

THÉORÈME

525. Pour qu'une droite AB soit perpendiculaire à un plan P, il suffit quelle soit perpendiculaire à deux droites non parallèles entre ellesy situées dans le plan P ou parallèles au plan P

En effet, par un point quelconque C du plan P, menons les parallèles CD et CE aux deux droites considérées. Les droites CD et CE seront contenues, d'une part dans le plan P {h%%), et d'autre part (523) dans le plan mené par le point C perpendiculairement à la droite AB. Le plan CDE, c'est-à-dire le plan P, est donc perpendiculaire à AB.

THÉORÈME

526. Si, d'un point A pris hors d'un plan P [fig. 285), on mène à ce plan la perpendiculaire AB et diverses obliques AC, AD, AE :

l6. GÉOMÉTRIE DANS L* ESPACE.

I® Deux obliques AC et AD, dont les pieds C e/ D s'écartent également du pied B de la perpendiculaire^ sont égales;

2*> Des deux obliques AC et AE, l'oblique AE, çwi s'écarte le plus du pied de la perpendiculaire, est la plus longue.

En effet :

!<" Les deux triangles rectangles ABC et ABD étant égaux comme ayant les deux côtés de l'angle droit respectivement égaux, leurs hypoténuses AC et AD sont égales.

ti*> En prenant BD=BC, on a, en vertu de l'alinéa précédent, AC == AD, et par la Géométrie plane AE > AD; donc AE est plus grand que AC.

827. Les réciproques de ces propositions sont vraies. 11 en résulte que le lieu des points d'un plan P situés à égale distance d'un point donné A est une circonférence ayant pour centre la projection B de ce point sur le plan (Jig. 285). De là,

un moyen pratique pour abaisser une perpendiculaire sur un plan P par un point extérieur A : on fixe au point A Tune des extrémités d'un fil dont l'autre extrémité est armée d'un crayon, on marque trois points C, D, F, sur le plan en tenant le fil tendu, on cherche le centre du cercle qui passerait par ces trois points, et l'on a le pied de la perpendiculaire demandée.

§ VI. - PROJECTION D'UNE DROITE SUR UN PLAN. - ANGLE D'UNE DROITE ET D'UN PLAN. - PLUS COURTE DISTANCE DE DEUX DROITES.

DÉFINITIONS

528. On appelle projection d'un point A sur un plan P le pied a de la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan {Jig. 286).

La projection d'une ligne quelconque ABC... ^ur un plan P