LIVRÉ Y. — LE PLAN

il suffit de faire voir que les trois droites OC, OB, OA, sont dans un même plan ; or cela résulte du n° 523.

Corollaire.

552. Par suite, tout angle dièdre a la même mesure que Vangle plan correspondant, pourvu que Von prenne pour unité d'angle dièdre le dièdre auquel correspond l'angle plan choisi pour unité d* angle plan; ou, d'une manière incorrecte, mais plus rapide, tout angle dièdre a pour mesure son angle plan. (Foir, pour plus de détails, le n° 136.)

SCOLIES

553. Vangle dièdre droit a pour angle plan un angle droit, et inversement, un angle dièdre est droit si son angle plan est droit. En effet, soient PABQ, PABQ' [Jig. 3oo), deux angles dièdres adjacents formés par la rencontre du plan P et du plan QQ'; par un point 0 de larête AB, menons un plan perpendiculaire à cette arête ; ce plan déterminera, par ses intersections avec les plans P et QQ', deux angles reciillgnes adjacents EOC, EOD, qui seront les angles plans des deux dièdres proposés. Or, quand les deux dièdres sont égaux, les deux angles plans sont égaux, et réciproquement.

55^. La proportionnalité des angles dièdres et des angles plans correspondants permet de conclure un grand nombre de propriétés des angles dièdres, des propriétés analogues des angles reclilignes démontrées en Géométrie plane. Nous citerons par exemple les propositions suivantes, qui sont souvent utiles :

Le plan bissecteur d*un angle dièdre est le lieu des points quiy situés dans l'intérieur de cet angle, sont équidistants de ses faces; etc. (Foir les n"» 51, 52, 53.)

Deux angles dièdres qui ont leurs faces parallèles deux à deux sont égaux ou supplémentaires. ( Voir le n" 70.)

THÉORÈME

555. Parmi toutes les droites que Von peut mener par un point A dans un plan P, celle qui fait le plus grand angle avec un autre plan donné Q est la perpendiculaire AB abaissée du point A sur V intersection LT des deux plans ^ et Q [fig. Zoi).

Soienl AC une droite quelconque menée par le point A dans le plan P, et a la projection du point A sur le plan Q; aB et

Fig. 3o2.

aC seront les projections de AB et de AC, et il s'agit de démontrer (538) que l'angle ABa est plus grand que l'angle KCa. Or, la droite ah étant perpendiculaire sur LT, en vertu du théorème des trois perpendiculaires la droite aC est une oblique, et l'on a «B <aC. Si donc on prend sur la droite «B, à partir du point â, une longueur a D égale à aC, le point D sera situé au delà de B, et l'angle ABa extérieur au iriangle ABD surpassera l'angle intérieur ADa; mais, les triangles AaC et AaD étant égaux comme ayant un angle droit égal compris entre deux côtés égaux, l'angle ADa est égal à l'angle ACa; donc enfîn l'angle ABa est plus grand que l'angle ACa.

SCOLIE

556. Lorsque le plan Q est horizontal, la droite AB prend le nom de ligne de plus grande pente du plan P. L'angle de cette ligne avec le plan Q est l'angle plan du dièdre PLTQ. Par chaque point d'un plan passe une ligne de plus grande pente de ce plan, et une seule.