LIVRE V. — LE PLAN

dans le plan Q et par le poini B, la perpendiculaire BE à CD; donc la droite AB est perpendiculaire à BE, et comme elle Test aussi par hypothèse à CD, elle est perpendiculaire au plan Q.

Fîg. 3o3.

Fig. Sojj.

THÉORÈME

558. Si une droite AB est perpendiculaire à un plan Q, tout plan P passant par cette droite ou parallèle à cette droite est perpendiculaire au plan Q.

En effet :

I" Si le plan P passe par AB (Jig, 3o3), menons dans 1^ plan Q et par le point B la perpendiculaire BE à Tintersection CD des deux plans P et Q. L'angle ABE sera droit, puisque la droite AB est par hypothèse perpendiculaire au plan Q; d'ailleurs cet angle ABE est l'angle plan du dièdre PCDQ; donc ce dièdre est droit, et le plan P est perpendiculaire au plan Q.

2*» Si le plan P est parallèle à AB (fig- 3o4), menons par un point quelconque £ de ce plan la parallèle £F à AB; cette droite EF sera à la fois perpendiculaire au plan Q et située dans le plan P (513, k%%). Donc le plan P, passant par une droite EF perpendiculaire au plan Q, sera perpendiculaire à ce plan (i«»J.

559. Réciproquement, si deux plans Ç^etV sont perpendiculaires entre eux, toute droite AB perpendiculaire au premier plan Q est située dans l'autre plan P ou lui est parallèle.

En effet, si la droite AB n'avait qu'un seul point commun avec le plan P, en menant de ce point une perpendiculaire sur l'intersection CD des plans P et Q (fig. 3o4 ), cette perpendiculaire serait perpendiculaire au plan Q, et l'on pourrait mener d'un même point deux perpendiculaires au plan Q; ce qui est impossible. La droite AB, ne pouvant couper le plan P, est donc parallèle à ce plan ou située dans ce plan.

:fc8. GËOMËTRJE DANS l'eSPACE.

560. Par une droite AB oblique à un plan P [fig, 3o5 ), on peut abaisser un plan perpendiculaire sur ce plan P, et on ne peut en abaisser qu'un.

En effet, le plan BAa, déterminé par la droite AB et par la perpendiculaire A a au plan P abaissée d*un point quelconque de AB, est perpendiculaire au plan P. C'est le seul, car tout plan conduit par AB perpendiculairement au plan P doit (Contenir la perpendiculaire Aa.

Fig. 3o5.

THÉORÈME

561. Si deux pians V et Q sont perpendiculaires à un troisième R, leur intersection AB est perpendiculaire à ce twisiènie plan (fig. 3o6).

Car si, par un point quelconque de Tintersection AB, on mène la perpendiculaire au plan R, cette perpendiculaire doit se trouver à la fois dans le plan P et dans le plan Q (559); elle ne diffère donc pas de AB.

Corollaires.

562. Un plan perpendiculaire à deux plans qui se coupent est perpendiculaire à leur intersection.

563. Si les plans P et Q de la^gf. 3o6 forment un angle dièdre droit, les trois plans P, Q, R, seront perpendiculaires entre eux; Tintersection de deux quelconques de ces plans sera perpendiculaire au troisième, et les trois intersections seront perpendiculaires entre elles.