LIVRE V. — LE PLAN

concourent en un même point S, on dit qu'ils forment un angle polyèdre. Le point S est. le sommet, les droites SA, SB, se,. . . sont les arêtes, et les angles ASB, BSC, CSD,. . . sont les faces de l'angle polyèdre.

On désigne un angle polyèdre par la lettre du sommet suivie des lettres relatives aux diverses arêtes. Ainsi, pour indiquer l'angle polyèdre de la Jig. 807, on dira l'angle SABCDE, ou plus simplement l'angle S, car quand un angle polyèdre est isolé, la lettre du sommet suffit.

Fig. 307.

Il faut au moins trois plans pour formcsr un angle polyèdre. L'angle formé par trois plans prend le nom û*angle trièdre. Dans un angle trièdre BACS(/^. 807), on distingue six éléments, savoir : les trois faces SBA, SBC, ABC, et les trois dièdres BA, BC, BS.

565. On dit qu'un angle polyèdre est convexe, lorsqu'il esl situé tout entier d'un même côté par rapport au plan indéfini de chacune de ses faces (Jig. 307 ) ; il esl concave dans le cas contraire (^gf. 3o8). Tout angle trièdre est convexe.

Considérons un angle polyèdre convexe SABCDE {fig. 809 ); ses arêtes seront, d'après la définition de la convexité, situées toutes d'un même côté du plan PQ d'une face quelconque SAB; dans la ^g*- 309 naus les avons placées, pour fixer les idées, au-dessus de ce plan. Par le point S, dans le plan PQ, menons une droite MN située en dehors de l'angle ASB, et concevons une série de plans menés par la droite MN et contenant successivement chacune des arêtes SC, 3D, SE. Si DSM ou KMN est celui de tous ces plans qui fait le plus petit angle avec la portion PMN du plan PQ, l'angle polyèdre proposé SABCDE sera situé tout entier dans l'angle dièdre

3o. GtOMÉTRlB Dâ?IS l'bSPâCB.

RMNQ formé par la partie antérieure Q et la partie supérieure R des deux pJans PQ, RT. Donc, tout plan GH mené par

MN et situé dans l'angle dièdre PMNR et dans son opposé par l'arête QMNT, sera un plan mené par le sommet S et laissant toutes les arêtes d'un même côté. Par suite, tout plan parallèle à GH et situé, comme l'angle polyèdre SABCDE, à droite de GH, coupera toutes les arêtes de cet angle sans passer par le - sommet. La section sera donc un polygone ABCDË ayant autant de côtés que l'angle polyèdre a de faces, et ce polygone sera convexe; car l'angle polyèdre étant tout entier d'un même côté, par rapport au plan de chacune de ses faces, le polygone se trouvera, par là même, situé tout entier d'un même côté par rapport à chacune des droites indéOnies qui unissent deux sommets consécutifs quelconques.

566. Si l'on prolonge au delà du sommet S toutes les arêtes d'un angle polyèdre SABCDE [fig. 3io), on obtient un autre angle polyèdre SA'B'C'D'E' qui est dit le symétrique du premier.

Deux angles polyèdres symétriques SABCDE, SA'B'C'D'E', ont tous leurs éléments respectivement égaux : les faces ASB et A' SB', BSC et B'SC',. . . sont égales deux à deux comme angles plans opposés par le sommet, et les angles dièdres SA et SA', SB et SB', . . . , sont égaux comme opposés par l'arête. Mais la disposition des parties égales n'est pas la même dans les deux angles polyèdres. En effet, un observateur couché sur