II
5o. GÉOHtTRIB BANS l'bSPÀCB.
570. Si Ton projette un même point de Tespace sur deux plans qui se . coupent, les perpendiculaires abaissées des deux projections sur Tintersection des deux plans la rencontrent au même point. — Réciproquement,
si cette condition est remplie pour deux points des deux plans, ces points sont les projections d'un même point de Tespace.
571. Deux droites égales, parallèles et de même sens, ont leurs projections sur un même plan égales, parallèles et de même sens. — Réciproque de cette proposition.
572. Toute ligne qui se projette sur deux plans qui se coupent suivant une ligne droite, est elle-même un ligne droite.
573. La projection, sur un plan ou sur un axe, de la résultante de plusieurs droites est la résultante des projections de ces droites. ( Fbir la Question 542. )
574. Si une droite est également inclinée sur les deux faces d'un angle dièdre^ ses traces sur les deux faces sont également distantes de l'arête de l'angle dièdre. — Réciproque.
575. Quel est le lieu des points équidistants de deux plans qui se coupent?
576. Quel est le lieu des points de l'espace équidistants de deux droites qui se coupent?
577. Les perpendiculaires abaissées d'un même point sur des plans dont les intersections sont parallèles, sont dans un seul et même plan.
578. Deux angles dièdres qui ont leurs arêtes parallèles et leurs faces perpendiculaires chacune à chacune, sont égaux ou supplémentaires.
579. Quel est le lieu des points équidistants de deux plans donnés et de deux points ou de deux droites données situées dans un même plan?
580. Quel est le lieu des points tels, que la somme de leurs distances à deux plans donnés soit égale & une droite donnée.
581 . Quel est le lieu des points tels, que la somme de leurs distances à trois plans donnés soit égale à une droite donnée? — Étendre ce problème au cas d'un nombre quelconque de plans.
582. Trouver sur une droite donnée un point tel, que la somme de ses distances à deux plans qui se coupent soit un minimum.
583. Montrer que si, par un même point de l'arête d*un angle dièdre, on mène dans chaque face une droite faisant un angle donné a avec cette arête, l'angle rectiligne ainsi obtenu ne varie pas proportionnellement à l'angle dièdre, à moins que l'angle a ne soit droit.
LITRB T. — LX PLAN. 5l .
SS84. Dans tout angle trièdre, les plans bissecteurs des angles dièdres se coupent suivant une môme droite. — Quel est le lieu des points équidistants des trois faces d*un angle trièdre indéfiniment prolongées?
585. Dans tout angle trièdre, les plans menés perpendiculairement aux faces, par les bissectrices de ces faces, se coupent suivant une même droite. — Quel est le lieu géométrique des points équidistants des trois arêtes d*un angle trièdre indéfiniment prolongées?
586. Dans tout angle trièdre, les plans menés par les arêtes perpendiculairement aux faces opposées se coupent suivant une même droite.
587. Dans tout angle trièdre, les plans menés par les arêtes et les bis* sectrices des faces opposées se coupent suivant une même droite.
Remarque^ — Les quatre théorèmes précédents sont vrais lorsque le sommet de Tangle trièdre se transporte à Tinfini, c'est-à-dire lorsqu'il s*agit de trois plans dont les trois intersections deux à deux sont parallèles.
588. Couper un angle polyèdre à quatre faces, de manière que la section soit un parallélogramme.
589. Si , dans le plan de chaque face d'un angle trièdre et par son sonmiet on mène une perpendiculaire à l'arête opposée, les trois perpendiculaires obtenues sont dans un même plan.
590. Tout plan perpendiculaire à l'une des arêtes d'un angle trièdre rectangle, coupe cet angle trièdre suivant un triangle rectangle.
59i . La somme des angles formés par les arêtes d'un angle trièdre avec les faces opposées, est comprise entre la somme des faces et la moitié de cette somme.
592. Si, par un point pris dans l'intérieur d'un angle polyèdre, on abaisse des perpendiculaires sur toutes ses faces, le nouvel angle polyèdre ainsi formé est supplémentaire du premier. ( Voir les n** 572, 573. )
593. Dans tout angle polyèdre convexe de n faces, la somme des angles dièdres est comprise entre a /i et 2/1— 4 angles droits.
594. A, B, C, étant trois points pris à volonté sur les arêtes d'un angle trièdre tri-rectangle et 0 la projection du sommet S de cet angle trièdre sur le plan ABC, démontrer que le triangle ASB est moyen proportionnel entre IfS triangles ABC et OAB.
595. Une droite quelconque passant par un point donné A et coupant deux plans donnés P et R en deux points C et D, trouver le lieu du point B, conjugué harmonique du point A par rapport à CD.
596. Étant donné le triangle suivant lequel la feuille de dessin est rencontrée par un angle trièdre tri- rectangle, trouver,, par des constructions graphiques exécutées sur le plan de cette feuille, les inclinaisons des trois arêtes de Tangle trièdre sur ce plan.
597. Couper un angle trièdre tri-rectangle par un plan tel, que la section soit un triangle égal à un triangle donné.
§ X. — Appendice,
598. Quand plusieurs droites sont parallèles, leurs perspectives sur un plan forment un système de droites qui convergent en un même point. — Il y a exception lorsque les droites proposées sont de front, c'est-à-dire parallèles au tableau sur lequel on projette.
599. Quand plusieurs systèmes de droites parallèles sont parallèles à un même plan, les points de concours des systèmes rayonnants qui leur correspondent en perspective sont distribués sur une même droite.
600. Démontrer que si, après avoir mis une figure plane en perspective sur un tableau plan, on fait tourner le tableau autour de son intersection avec le plan de la figure primitive, les deux figures resteront toujours en^perspective; trouver le lieu décrit par l'œil.
601. On nomme figures homologiques des figures qui se correspondent point par point, de telle sorte : i® que deux points homologues quelconques soient en ligne droite avec un point fixe 0; 2® que la figure homologue d'une droite quelconque D soit une droite D' rencontrant D sur un axe fixe XY (voir les n*^ 320, 321 ). Cela posé, on demande de démontrer que les projections orthogonales sur un plan Q de deux figures planes de l'espace, dont Tune est Tombre de Tautre, sont deux figures homologiques. — Inversement, on peut toujours considérer deux figures homologiques comme les projections de deux figures planes dont l'une serait l'ombre de l'autre.
602. Quand deux figures sont en perspective, si Ton rabat le plan de la première sur le plan de la seconde, on a dans ce dernier plan deux figures homologiques.
603. Deux figures homothétiques (voir le n"* 352) étant données dans un plan P, si, en prenant un point S quelconque de l'espace pour centre de projection, on projette ces deux figures sur un plan Q, on obtient deux figures homologiques. — Quel est dans le plan P le point qui se projette sur le centre 0 d'homologie? — Quel est, dans le plan P, le lieu des points qui se projettent sur Taxe XY d'homologie?
604. On donne sur un plan une figure F, le cenire 0 et Taxe XY d'ho-
LIVBB y. — LB PLAN. 53.
mologie : construire la figure F' homologique de F, connaissant en outre le point a' homologue d'un premier point a de la figure F.
605. Construire la figure F' sans connaître le centre 0 d'homologie, et en se servant seulement de Taxe XY d*homologie, et des deux points a* et V homologues de deux points a et 6 de la figure F.
606. Construire la figure F' sans connaître Taxe XY, et en employant seulement le centre 0 d*homologie et deux droites A' et B' homologues de deux droites A et B de la figure F.
607. On donne dans un plan une figure F, un point fixe 0 et une droite fixe XY ; m étant un point quelconque de la figure F, on mène 0 m, qui coupe XY
C\ m' EL m'
en u, et l'on prend surOm un point m' tel que tt— = A £ — , A étant une constante: démontrer que le point m' décrit la figure homologique de F.
608. Examiner ce que deviennent deux figures homologiques : i"* lorsque Taxe d'homologie se transporte à l'infini ; 2"* lorsque le centre d'homologie esta l'infini.
609. Si deux figures sont homologiques, quatre points en ligne droite ou quatre droites concourantes dans la première figure, ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points ou des quatre droites homologues de la seconde figure.
610. Dans deux figures homologiques, le rapport des distances de deux points homologues quelconques m et/Ti'au centre d'homologieestau rapport des dislances de ces deux points m et m' à deux droites homologues D et D' quelconques, dans une raison constante.— Que devient ce théorème : i"* lorsque Tune des droites D et D' est Taxe d'homologie; t,^ lorsque la droite D est à l'infini; 3* lorsque, la droite D étant à l'infini, la droite D' se confond avec la droite de la première figure qui correspond aux points de la seconde situés à l'infini.
611. Étant donnés un quadrilatère gauche et une droite qui divise deux côtés opposés en parties proportionnelles, trouver une droite qui soit perpendiculaire à la première et qui divise proportionnellement les deux autres côtés du quadrilatère.
612. Dans un quadrilatère gauche, les trois droites qui joignent les milieux des côtés opposés et les milieux des diagonales se coupent mutuellement en parties égales.
613. Quand un plan transversal coupe les côtés consécutifs d'un polygone gauche ABCD. . . , en des points a, é, r, . . . , on a, en grandeur et en
signe, la relation
/ïA *B cC ÏÏB'AC'^D'"'""^"*
54* GÉOMÉTlin DANS l'eSPÀCE.
614. Si ane droite ac glisse sur deux côtés opposés ÂB et CD d'unqua* drilatère gauche, de telle sorte qu'on ait
ak . cD
> étant une constante, cette droite rencontre toujours trois droites Gxes.
615. Si l'on fait tourner deux plans rectangulaires autour de deux droites fixes dans Tespace, leur intersection rencontre toujours trois droites fixes.
