UVRE V. — LE PLAN

540. Mener par un point donné une droite qui rencontre une droite et un cercle qui ne sont pas situés dans un même plan.

54i. Dans tout quadrilatère gauchOi c'est-à-dire dont les câtés ne sont pas situés dans un plan unique, les milieux des côtés sont les sommets d'un parallélogramme.

542. Plusieurs droites étant données en grandeur, direction et sens, si on les transporte parallèlement à elles-mêmes, de telle sorte que Te^trémité de chacune d'elles se confonde avec l'origine de la suivante, la droite qui part de Torigine de la première et aboutit à l'extrémité de la dernière prend le nom de résultante des droites proposées; celles-ci sont dites à leur tour les composantes de la résultante. Composer des droites, c'est trouver leur résultante; décomposer une droite, c'est trouver des droites qui aient pour résultante la droite donnée. Ces définitions posées, il s'agit de démontrer les propositions suivantes :

i"* La résultante de plusieurs droites reste la même, quel que soit l'ordre dans lequel on compose ces droites.

2® La résultante de plusieurs droites n'est pas changée quand on remplace un certain nombre d'entre elles par leur résultante.

3^ Si, sans changer la direction et le sens des composantes, on altère leur grandeur dans un certain rapport, la résultante conserve sa direction et son sens, mais sa grandeur est altérée dans le même rapport.

4** Si, sans altérer la grandeur et la direction des composantes, on change leur sens, la résultante conserve sa grandeur et sa direction, et change de sens.

5*" Pour décomposer une droite D en deux autres dont l'une soit une droite donnée r/, il suffit de composer D avec r/ prise en sens contraire.

543. Par une droite donnée, on peut mener un plan parallèle à une autre droite donnée, et on n'en peut mener qu'un.

544. Par un point donné, on peut mener un plan parallèle à deux droites données, et on n'en peut mener qu'un.

^ IV, V, VI. — Plans parallèles, — Droite et plan perpendiculaires, — Projection d'une droite sur un plan. — Jngle d'une droite et d'un plan, — Plus courte distance de deux droites.

545. Mener, dans un plan donné et par un point de ce plan, une droite perpendiculaire à une droite donnée d'une manière quelconque dans l'espace.

546. Pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan, il suffit qu'elle soit également inclinée sur trois droites passant par son pied dans ce plan.

547. Étant donnés un plan P et deux points  et B situés d'un même

côté de ce plan, trouver sur le plan P un point tel, que la somme de ses distances aux points  et B soit minimum.

548. Étant donnés un plan P et deux points A et B situés de part et d*aulre de ce plan, trouver sur le plan P un point tel, que la différence de ses distances aux points A et B soit maximum.

549. Étant donnés une droite D et deux points A et B situés comme on voudra dans Tespace, trouver le point de la droite Dqui estéquidistant des points A et B.

550. Étant donnés un triangle ABC et un plan quelconque P, trouver le point du plan P qui est é^uidistant des trois sommets du triangle ABC.

551. Trouver le lieu des points d'un plan dont la différence des carrés des distances à deux points donnés hors de ce plan soit constante.

552. Trouver le lieu des points d*iin plan d*où l'on voit sous un angle droit une droite située hors de ce plan.

553. Trouver le lieu des points de l'espace dont la différence des carrés des distances à deux points donnés soit constante.

55 i. Mener une droite qui soit parallèle à une droite donnée, et qui rencontre deux droites données non situées dans un même plan.

555. Démontrer que deux droites qui sont parallèles à un plan donné, et qui rencontrent deux autres droites placées d'une manière quelconque dans Tespace, ne sont pas en général dans un même plan.

556. Quel est le lieu des points dont le rapport des distances à deux plans parallèles est constant?

557. Une droite se déplace en restant parallèle à un plan donné et en s*appuyant sur deux droites placées d'une manière quelconque dans lespace : quel est le lieu des points qui divisent la droite mobile dans un rapport donné?

558. Si par Tune des diagonales d'un parallélogramme on mène un plan quelconque, les perpendiculaires, abaissées sur ce plan des extrémités de l'autre diagonale, sont égales.

559. Les angles aigus formés par deux droites parallèles avec un même plan sont égaux.

560. Étant donné un angle AOB, trouver le lieu des points M de Tespace tels que, si on les joint au sommet 0 de l'angle, la somme des projections de la droite CM sur les deux côtés de l'angle soit constante.

561 . Le plan mené parallèlement à deux droites non situées dans un même plan, par le milieu de leur plus courte distance, passe par les mi-

LITIE T. LE PLAN 49»

lieux de toutes les droites qui joignent un point de la première droite à un point de la seconde.

562. Lorsqu'une droite est parallèle à un plan, la plus courte distance de cette droite à toutes les droites du plan qui ne lui sont pas parallèles est constante.

563. Entre deux droites données d'une manière quelconque dans Tespace, mener une droite parallèle à un pian donné et ayant une longueur donnée.

564. Trouver le lieu décrit par le milieu d'une droite de longueur constante, dont les extrémités s'appuient sur deux droites rectangulaires et non situées dans un même plan.

565. Un angle ÂOB tourne dans Tespace autour d'une droite ZZ' parallèle à sa bissectrice; démontrer que, si Â'O'B' est une seconde position d^aiileurs quelconque de cet angle : i** les droites OA et O'A' ne sont pas dans un même plan, non plus que les droites Ofi et O'B'; 2"* OA et O'B' sont dans un même plan, et il en est de même de O'A' et de OB ; V trois quelconques des droites OA, OB, O'A', O'B', ne sont pas parallèles à un même plan.

566. Soient une droite quelconque AB et un plan P. Si AB est divisée au point C dans le rapport — 9 et si des points A, B, C, on abaisse sur le plan Pies perpendiculaires AA', BB', CC, on a

567. Si la somme des perpendiculaires abaissées d'un point A sur deux plans donnés est égale à la somme des perpendiculaires abaissées d'un autre point B sur les mêmes plans, cette somme reste la même pour tout autre point G de la droite AB. — Étendre ce théorème au cas d'un nombre quelconque de plans.

568. Soient trois points A^ B, C, et deux plans P et Q. Si la somme des deux perpendiculaires abaissées de chacun de ces points sur les deux plans est la même pour les trois points, cette somme restera encore la même pour tout autre point du plan ABC. — Étendre ce théorème au cas d'un nombre quelconque de plans.

§§ VII, Vni, IX. — Angles dièdres, — Plans perpendiculaires. — Angles

polyèdres,

569.* Si, par un point 0 de Tespace, on mène deux parallèles OA et OB à un plan donné P, puis par le même point 0 deux plans respectivement perpendiculaires à OA et à OB, l'intersection de ces plans est perpendiculaire au plan P (cette proposition est utile dans les applications).