LIVRE yi. — LB8 POLVtoBBS. 5a

parallèle au plan BAË, par le point B un plan parallèle au plan DâE. Le polyèdre compris sous les six plans considérés sera un parallélipipède.

THÉORÈME

601 . Dans un parallélipipède, les quatre diagonales se coupent mutuellement en parties égalés.

Soil (Jig. 333) le parallélipipède AG et ses quatre diagonales AG, CE, BH, DF. Les deux côtés AE et CG élant égaux ei parallèles, la figure ACGE est un parallélogramme dont les diagonales AG et CE se coupent mutuellement au point 0 en parties égales. La figure ABGH étant aussi un parallélogramme, les diagonales AG et BH se coupent mutuellement en parties égales, c'est-à-dire au point 0 milieu de AG. On prouverait de même que la quatrième diagonale DF passe au point 0 et y est divisée en parties égales.

SCOLIES

60S. On appelle centre d'un parallélipipède le point de rencontre de ses quatre diagonales.

Toute droite KL passant par le point 0 et limitée à la surface du parallélipipède AG (Jig. 333) est divisée au point 0 en deux parties égales. En effet, le plan déterminé par cette droite et la diagonale AG coupe les deux faces opposées ADHE et BCGF suivant les parallèles AK et GL; les deux triangles AOK, GOL sont donc égaux.

603. Si le parallélipipède proposé est rectangle, tous les parallélogrammes de la figure deviennent des rectangles. Le parallélogramme ABGH, par exemple, est alors un rectangle, parce que l'arête AB est perpendiculaire à la face ADHE. Les

6o . GÉOMÉTRIE BANS l'BSPACB.

diagonales d'un rectangle étant égales, les quatre diagonales d'un parallélipipède rectangle sont égales.

60b. Dans Thypothèse précédente, les triangles HAB, HDA étant rectangles, on a

bh'=âbVâh\ âh'=âd'-+- dh'^âdVâë'.

Par suite,

BH'=ÂB'-f.ÂDVÂÊ'.

Donc, le carré de la diagonale d'un parallélipipède rectan-gle est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions.

Un cube étant un parallélipipède rectangle dont les dimensions sont égales, le carré de la diagonale d'un cube est égal à trois fois le carré de son arête,

THÉORÈME

605, Les sections faites dans un prisme par deux plans parallèles sont deux polygones égaux,

Fîg. 334.

Soient {fig. 334) le prisme AH et les sections LMNOP, QRSTU, faites par deux plans parallèles. Les côtés de ces sections sont deux à deux parallèles comme intersections de deux plans parallèles coupés par un troisième, et égaux comme parallèles comprises entre parallèles. Les deux polygones obtenus ont donc à la fois leurs angles égaux ((•Oi-) et leurs côtés égaux.

COBOLLAIRES.

606. Lorsque le plan sécant est parallèle à la base du prisme, la section obtenue est égale à cette base.

LITRE VI. — LES POLTtoRES. 6l .

En supposant les arêtes latérales du prisme prolongées au delà des bases, la démonstration précédente s'appliqua que les sections soient intérieures ou extérieures au prisme, et même lorsqu'elles sont en partie intérieures et en partie extérieures. Il suffit que les plans sécants rencontrent toutes les arêtes latérales.

SCOLIB.

607. On appelle section droite d'un prisme la section déterminée dans ce prisme par un plan perpendiculaire à ses

arêtes latérales.

THÉORÈME

608. L'aire latérale d'un prisme a pour mesure le produit du périmètre de sa section droite par son arête latérale.

Fig. 335.

Soient {fg. 335) le prisme AH et sa section droite LMNOP. Les côtés de cette section droite sont les hauteurs des parallélogrammes qui forment Taire latérale du prisme, et ces parallélogrammes ont pour bases égales les arêtes latérales du polyèdre. La somme de leurs mesures sera donc