Deux triangles rectangles sont égaux

I" Lorsqu'ils ont V hypoténuse égale et un angle aigu égal; 2® Lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un côté de l'angle droit égal.

Fig. 34.

En effet :

1° Soient iJig'H) les deux triangles ABC, A'B'C, rectangles en A et en A', et dans lesquels on a

BC = B'C et B = B'.

Portons le triangle A'B'C sur le triangle ABC, de manière que B'C coïncide avec BC, B' étant en B et C en C. Si Ton fait tomber les deux triangles du même côté de BC, Tangle B' étant égal à l'angle B, le côté B' A' prendra la direction BA ; dès lors, le côté C'A', qui est perpendiculaire sur B'A', devra prendre la direction de CA, qui est la seule perpendiculaire qu'on puisse abaisser du point C sur BA. Le point A' devant tomber à la fois sur BA et sur CA viendra donc en A, et les deux triangles coïncideront.

a*» Soient (^gf. 34) les deux triangles ABC, A'B'C, rectangles en A et en A', et dans lesquels on a

BC = B'C et AC=:A'C.

Portons le triangle A'B'C sur le triangle ABC, de manière que A'C coïncide avec AC, A' étant en A et C en C. Si l'on fait

20 GÉOMÉTRIE PLANlt.

tomber les deux triangles du même côté de AC, le côté A'B' prendra la direction de AB, à cause de Tégalité des angles droits A et A', De plus, C'B' deviendra une oblique égale à CB, issue du même point C, et située du même côté de la perpendiculaire CA. Donc CB et C B' s*écarteront également du pied de cette perpendiculaire {kk}; en d'autres termes, le point B' tombera en B, et les deux triangles coïncideront.

THÉORÈME

51. Tout point M pris sur la bissectrice AD d*un angle BAC est également distant des deux côtés de cet angle {fig» 35 j.

La distance du point M au côté AB est la longueur de la perpendiculaire ME abaissée du point M surAB(42); de même, la perpendiculaire MF, abaissée du point M sur AC, mesure Va distance du point M au côté AC. Il s'agit de démontrer Tégalité de ME et de MF. Or, cette égalité résulte de celle des deux triangles MAE, MAF, qui, rectangles en E et en F, ont l'hypoténuse AM commune et un angle aigu égal, savoir MAE = MAF, puisque la droite AD est la bissectrice de l'angle BAC.

52. Rêciproquemeiht, tout point M pris à l'intérieur d'un angle BAC, à égale distance ME = MF de ses deux côtés AB ^t AC, appartient à la bissectrice de cet angle (Jig. 35).

En effet, en menant la droite MA, on obtient deux triangles rectangles, MAE, MAF, qui sont égaux comme ayant l'hypoténuse MA commune et un côté de Tangle droit égal: ME = MF. Donc, l'angle MAE opposé au côté ME est égal à l'angle MAF opposé au côté MF, et la droite AM est la bissectrice de l'angle BAC.

Corollaire.

53. La bissectrice d'un angle est le lieu géométrique des points qui, situés dans Vintérieur de cet angle, sont équidistants de ses côtés.

ScouE.

54. Pour établir un lieu géométrique, il faut toujours. prouver une double proposition composée, soit d'une certaine proposition directe et de sa réciproque, soit de celle même proposition directe et de la proposition contraire.

Ainsi Ton démontrera : que tout point d'une certaine figure jouit d'une certaine propriété (proposition directe ), et que tout point jouissant de cette propriété appartient à celte figure (proposition réciproque);

Ou bien : que tout point d'une certaine figure jouit d'une certaine propriété (proposition directe), et que tout point pris hors de cette figure ne jouit pas de cette propriété (proposition contraire).

L'équivalence de ces deux modes de démonstration résulte de ce que la proposition directe, sa réciproque et la proposition contraire sont tellement liées, que Tune quelconque des deux dernières est une conséquence des deux autres (19).

11 est ordinairement plus simple d'adopter le premier mode, c'est-à-dire de démontrer la proposition directe et sa réciproque ; cela tient à ce que la proposition contraire exige toujours une figure différente de celle qui est relative à la proposition directe, tandis que la réciproque n'exige pas en général une figure nouvelle.