La position du centre de symétrie n'influe ni sur la

forme ni même sur V orientation de la figure symétrique d'une

figure donnée.

THÉORÈME

661. Si deux figures F et Y" sont symétriques par rapport à un plan P, on peut toujours les placer de telle sorte quelles soient symétriques par rapport à un centre 0' pris à volonté dans ce plan; et réciproquement, si deux figures F et F' sont symétriques par rapport à un centre O', on peut toujours les placer de telle sorte quelles soient symétriques par rapport à un plan quelconque P passant par ce centre {fis. 36i ) ( *).

Il suffit de faire tourner la figure F" dans le premier cas, la figure F' dans le second, de i8o degrés autour de la perpendiculaire O'CB élevée en 0' au plan P.

En effet, considérons une figure F, un plan P et un point quelconque 0' de ce plan ; soient F' la figure symétrique de Fpar rapport au point 0', et F" la ligure symétrique de F par rapport au plan P. Le théorème direct et sa réciproque seront démontrés à la fois, si l'on fait voir que les figures F' cl F" sont symétriques par rapport à la perpendiculaire O'B élevée en O' au plan P(()58). Or, soient A, A', A", trois points homologues des figures F, F', F", et 0* le point où la droite AA'^ rencontre le plan P. 0' étant le milieu de AA' et O" le milieu de AA", la

(•) Bravais, Journal Je Mathématiques , t. XIV.