Deux polyèdres symétriques P et P' sont équivalents

Si Ton décompose le polyèdre P en tétraèdres, à chacun *de ces tétraèdres répondra un tétraèdre symétrique, et Tensemble de ces tétraèdres symétriques formera le polyèdre P'. Deux polyèdres symétriques P et P', étant d'après cela composés d'un même nombre de tétraèdres symétriques deux à deux, il suffit de démontrer que deux tétraèdres symétriques sont équivalents.

Or, soit [fig. 364) ^ABC un tétraèdre quelconque. Formons son symétrique SA'BT/ par rapport au point S. Les triangles ABC, A'B'C, sont égaux (670), et leurs plans sont équidistants du point S (672). Par suite, les deux tétraèdres SABC, SA'B'C, ayant des bases et des hauteurs égales, sont équivalents.

Fig. 364. Fig- Î65.

La symétrie relative à un plan fournirait dans ce cas une démonstration tout aussi simple; car, comme la propriété dont il s'agit concerne la grandeur et non la situation^ on peut prendre à volonté le plan de symétrie (662). Or, en construisant (Jig. 365) la figure S' ABC symétrique de SABC par rapport au plan ABC, on voit que les deux tétraèdres SABC, S' ABC, ont même base ABC et des hauteurs égales SO et S'O; d'où résulte leur équivalence.

» SCOLIB.