LIVRE VI. — LES POLYÈDRES. Iig

pidemenl centre de gravité d'un triangle , le centre des moyennes distances •des trois sommets.

Il est aisé de voir (y%. 38i) que le centre de gravité G d^tin trinngir ABC est le point de concours des médianes de ce triangle; car, pour avoir ce centre, il faut, d'après la construclion même du n°7i0, prendre le mî ■

PI lieu 1 de BC, puis diviser lA de telle sorte que — = -• Donc le point G

est sur la médiane AI, au tiers de sa longueur à partir de la base, etc.

715. Un polygone ABCDE étant donné (Jig, 382), si on le décorapost' en triangles en joignant tous ses sommets à un point 0 pris dans son plan, et que l'on cherche le centre G des distances proportionnelles des centre» de gravité G,, G„ G3, G^, G^, de ces triangles, en leur attribuant des coefficients proportionnels aux aires des triangles correspondants, on aura ce qu'on appelle le centre de gravité du polygone. Si le point 0 est pris à l'intérieur du polygone, tous les triangles sont additifs, et Ton donne ît tous les coeflBcients le signe -h ; si le point Oest pris à l'extérieur du polygone, il y a des triangles additifs et des triangles soustractifs, et Ton donne pour coefficients aux contres de gravité des triangles additifs Ic^ aires de ces triangles précédées du signe h-, et aux centres de gravité des triangles soustractifs les aires de ces triangles précédées du signe — .

Pour légitimer cette définition, il faut prouver que la position du centriï de gravité G du polygone est indépendante de la position qu'occupe le point 0 dans son plan. A cet efiet, projetons la figure sur un plan quelconque P, en donnant aux projetantes une direction perpendiculaire au plan ABCDE. Soient g, g',, ^„ g^, g^, g^, les projetantes des points G, G ^

I^O. «ÉOMftTRIE DANS l'bSPAGB.

G„ G5, G,, Gj, et 7, 7,, 7.^, 73, 7,, 7^^ les coefficients correspondants, c'est-à-dire les aires du polygone ABCDE et des triangles OAB, OBC, OCD, ODE, OEA, prises avec les signes convenables. La formule ( 3 ) donnant

7 -g^ = 7. -^i -+■ Va •fi's -^- 7» -iTa H- 74 -5^4 -+- 7s •g's > 7 .g représente le volume du tronc de prisme droit dont ABCDE est la base . En effet g^,, projetante du point G,, est égale au tiers des projetantes des points 0, A et B, puisque ^, est le centre des moyennes distances des trois sommets du triangle OAB. Donc 7,. g", représente (653) le volume du tronc du prisme droit dont OAB est la base. De même, les produits 7,.^,, 73-g'3vreprésentent les volumes des troncs de prisme construits sur OBC, OCD,.... D'ailleurs, comme les facteurs 7,, 7,, 7,, . . . , sont positifs ou né^tifs, suivant que les triangles correspondants sont additifs ou soustractifs, on voit que les produits 7, .g',, 73./?,» • . . ont naturellement le signe h- ou le signe —, suivant que les troncs de prisme qu'ils représentent sont additifs ou soustractifs. Donc, enfin, le second membre de la relation précédente exprime la mesure du volume du tronc de prisme construit sur le polygone ABCDE; et, en désignant ce volume par Y, on a