LIVBB VI. — LES POLYÈDRES

lieux L, M, N, P, R, des côtés de la section droite, et par le centre de gravité G du contour de cette section, concevons des parallèles aux arêtes du prisme, et appelons respectivement /', m\ n\ p\ r\ g\ les longueurs de ces parallèles prolongées jusqu'au plan de la base A'B'C'D'E', et /', m", /î", p", r^, ^, les longueurs des mêmes parallèles prolongées jusqu*au plan de la base A'B'CD'E'. \ f*, v, tt, p, étant les côtés AB, BC, CD, DE, EA, de la section droite, on aura, par la formule (3),

(>-»-/* H-v-hTT-J-p)^' = À/'H-{A//l'-hv«'-Hff/?'-+-pr', (>-+-pt-»-v-+-7rH-p)g^=> /"-+ |x w'-h v/?*-H7r^*-h ^r^^ d'où, en retranchant,

(>K^^v-+-7rH-p)(^-^') = >(r-/')-hpL(w'' — /w')-+-v(«''-«')

Le second membre représente évidemment la somme des aires des faces latérales du tronc de prisme ; il doit donc en être de même du premier. Or, ce premier membre est le produit du périmètre XH-fA-hv-»-ir*-»-p de la section droite, par la portion g" — /^ de la parallèle aux arêtes du prisme menée par G et comprise entre les plans A'B'C'D'E' et A'B'C"D''E*.

THÉORÈME

717. Les centres de gravité des aires de toutes les sections planes d'un prisme sont situés sur une même parallèle aux arêtes de ce prisme.

Le théorème est évident pour le prisme triangulaire, car, lorsqu'on projette obliquement ou orthogonalement un triangle sur un plan, chaque médiane du triangle primitif a pour projection une médiane du nouveau triangle.

Considérons actuellement un prisme quelconque; soit ABCDE [Jig. 382) sa section droite, qu'on a décomposée en triangles en joignant aux divers sommets un point quelconque 0 de son plan ; soit P le plan d'une section quelconque incliné d'un angle a sur le plan de la section droite. Conservons toutes les notations du n*» 715, et désignons par A', B', C, D', E',0', G', G', , Gj, G3, G\, G's, les points où les arêtes du prisme et les parallèles à ces arêtes menées par les points 0, G, G,, G„ G3, G^, G^, rencontrent le plan P. G 'étant le centre de gravité de la section droite, on a

et, par suite, en multipliant par cosa,

7 COSa.^ = 7, COSa.o', -h 7j cosa.^3

-h 7, rosa.^3 -+- 7, cosa.^, -h 7, cosa.^,.

Mais les points G',, G',, Gj, G'», G'^, sont, d'après le premier alinéa, les

centres de gravité des triangles O'A'B', O'B'C, 0'C'D\ O'D'E', O'E'A', dont se compose la section par le plan P, et 7, cosa, 75COSa, 73003», 7^ cosa, 7^cosa sont (706) les aires de ces triangles prises avec le signe ■+ou le signe -- , suivant que ces triangles sont additifs ou souslraclifs. Donc la dernière relation exprime que le point G' est le centre de gravité de la section oblique.

SCOLIE

718. Le théorème correspondant sur les centres de gravité du /^Wmétre des diverses sections planes d'un prisme n'est pas vrai. Les centres des sections faites par une série de plans parallèles sont bien situés sur une même droite parallèle aux arêtes, mais cette droite se déplace lors> que l'inclinaison de la série des plans parallèles vient à changer.

THÉORÈME

749. Le volante d'un tronc de prisme quelconque est égal au produit de l'aire de la section droite par la distance des centres de gravité des deux Bases,

Dans le cas où la section droite est l'une des deux bases du tronc, le théorème résulte immédiatement de ce qui a été dit aux n** 715 et 747. En effet, on a vu au n° 715 qu'en désignant par V le volume d'un pareil tronc, par 7 Taire de la section droite, et par g la parallèle aux arêtes du prisme menée par le centre de gravité de cette section droite jusqu^à l'autre base, on avait V = ^.7, et l'on sait, d'après le n** 747, que cette droite g réunit les centres de gravité des deux bases.

Considérons actuellement un prisme dont les arêtes soient obliques sur les bases A'B'C'D'E' et A''B'C"D''E" [fig. 383). Désignons par V son volume, menons une section droite ABCDE au-dessus des deux bases, et appelons S, V, V*, l'aire de cette section et les volumes des deux troncs compris entre cette section et chacune des deux bases primitives. Si Ton observe que les centres de gravité G, G', G*, de la section droite et des deux bases sont sur une même parallèle aux arêtes, on a

V''=S.GG^ V'=S.GG' et, par soustraction,

V''-V'=S(GG''-GG'), ou V=S.G'G".

SCOLIE

720. Soit [fig, 383) G'K la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de l'une des bases sur l'autre; a étant l'angle G" du triangle rectangle KG^G', on a

G''K = G'G''cosa;

mais l'angle a est égal à Tangle du plan de la section droite ABCDE et