LIVRE VI. — LES POLYÈDRES
du plan de la base A'B'C'D'ë', dont nous désignerons Taire par B ; on a donc (707)
S = B cosa, et, par suite,
V = S.G'G''= B cosa — = B-G-K.
COS a
De là cet autre énoncé :
Le volume d'un tronc de prisme fjueiconfjue est égal au produit de Vune des bases par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de Vautre base sur le plan de la première.
721. Nous terminerons en signalant à l'attention du lecteur le mode de démonstration employé au n*" 715. Cette méthode, qui consiste à faire intervenir la Géométrie de l'espace dans la solution d'un problème de Géométrie plane, est surtout remarquable par le caractère intuitif des démonstrations qu'elle fournit. Les travaux de Desargues, de Monge, et surtout ceux de Poncelet, dont il sera question dans la suite de cet ouvrage, ont montré que cette méthode était un puissant moyen d'investigation.
«lIESTIOnril PROPOSEES.
§§ I, IL — Du prisme,
616. Le volume d'un prisme triangulaire a pour mesure la moitié du produit de l'aire d'une face latérale par la distance de cette face à l'arête opposée.
617. Si, sur trois droites parallèles et non situées dans un même plan, on prend d'une manière quelconque des longueurs égales à une droite donnée, le volume du prisme triangulaire ainsi formé est constant.
618. Couper un cube par un plan de manière que la section soit un hexagone régulier.
619. Deux prismes sont égaux : i*" lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre une base et une face égales chacune à chacune et semblablement disposées ; i"" lorsqu'ils ont une base et deux faces adjacentes égales chacune à chacune et semblablement disposées.
620. Deux prismes triangulaires sont égaux, lorsqu'ils ont leurs faces latérales égales chacune à chacune et semblablement disposées.
621. Vérifier par la Géométrie la formule qui dpnne le cube d'une somme ou d'une différence de deux parties.
11^. * GÉOMÉTillE DANS L'bSPAGB.
622. On donne trois droites deux à deux non situées dans un même plan, et l'on demande de construire un parallélipipède dont trois arêtes soient sur ces trois droites.
623. Dans tout prisme quadrangulaire, la somme des carrés des arêtes surpasse la somme des carrés des diagonales de huit fois le carré de la droite qui joint les milieux communs de ces diagonales considérées deux à deux. — Application au parallélipipède quelconque.
624. Dans un hexaèdre quelconque, la somme des carrés des arêtes surpasse la somme des carrés des diagonales de quatre fois la somme des carrés des quatre droites qui joignent les milieux des diagonales du polyèdre et les milieux des diagonales de deux faces opposées. -< Application au parallélipipède.
625. Mener par une droite donnée un plan qui partage un parallélipipède en deux parties équivalentes.
626. Dans tout prisme triangulaire, Taire de la plus grande face est plus petite que la somme des deux autres.
627. De tous les primes de n Taces, c'est le prisme régulier qui a :
i"* La plus petite aire latérale, les bases étant équivalentes et les hauteurs égales ;
2** La plus grande base et le plus grand volume, les aires latérales étant équivalentes et les hauteurs égales ;
3° La plus grande hauteur et le plus grand volufhe, les bases et les aires latérales étant respectivement équivalentes;
4** La plus petite base et la plus grande hauteur, les aires latérales et les volumes étant respectivement équivalents.
628. De deux prismes réguliers, celui dont le nombre de faces est le plus grand possède les quatre propriétés énoncées dans le numéro précèdent.
629. De tous les prismes quadrangulaires, c'est le cube qui, à égalité d'aire, possède le plus grand volume et qui, à égalité de volume, possède la plus petite aire.
§§ III, IV. — De ta pyramide.
630. Démontrer que deux tétraèdres sont égaux : i" lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblablement disposées; i!* lorsqu'ils ont une face égale adjacente à trois angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés ; 3"* lorsqu'ils ont trois faces égales chacune à chacune et semblablement disposées ; 4° lorsqu'ils ont une arête égale et cinq angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés.
