LIVRE VI. — LES POLYÈDRES

G5S. Soit un tétraèdre SABC; par un point 0 pris dans la face SBC, on mène aux arêtes SA, AB, AC, jusqu'aux faces ABC, SAC, SAB, les parallèles OD, OE, OF : dëmontrer la relation

Op OE 0F SA "^AB "^AC~'"

656. Soit un tétraèdre SABC coupé par un plan quelconque DEF : menons les diagonales des quadrilatères ABDE, BCFE, ACFD; ces diagonales se rencontrent deux à deux aux points G, H, K, et les droites SG, SH, SK, coupent elles-mêmes les côtés de la base ABC aux points L, M, N; démontrer : i" que les transversales AM, BN, CL, se coupent en un même point 0 de la base ABC; -a*» que les transversales SO, AH, BK, CG, se coupent en un même point P de l'espace. — Examiner le cas où la section DEF est parallèle à la base ABC.

657. Dans un tronc de pyramide triangulaire à bases non parallèles, les points d'intersection des diagonales des trois faces latérales et les points d'intersection des côtés des bases prolongés deux à deux, sont dans un même plan.

658. La hauteur d'un tétraèdre régulier est égale à la somme des perpendiculaires abaissées d'un point pris dans l'intérieur du polyèdre sur ses quatre faces. — Examiner le cas où le point est choisi extérieurement. { yoir l'exercice 25. )

659. Si, par un point quelconque pris dans l'espace, on fait passer plusieurs droites parallèles et égales aux différents côtés d'un polygone ou plusieurs polygones parallèles et égaux aux différentes faces d'un polyèdre quelconque, la somme algébrique des produits obtenus en multipliant la longueur ou l'aire de chacun des éléments ainsi transportés pal* la perpendiculaîre abaissée sur lui d'un autre point constant de l'espace, est égale à zéro. — Application au théorème précédent (les produits considérés sont positifs ou négatifs suivant que les faces transportées laissent ou non d'un même côté le centre commun des perpendiculaires).

660. Soit le tétraèdre SABC ; menons une section quelconque DEF parallèle à la base ABC, et joignons les milieux des côtés de celte section aux sommets opposés de la base : les trois droites obtenues se croisent en un même point dont on demande le lieu.

661 . Par un point quelconque pris dans l'intérieur de la base d'une pyramide régulière, on mène à celte base une perpendiculaire qui rencontre toutes les faces de la pyramide ou leurs prolongements ; démontrer que la somme des distances des points de rencontre obtenus à la base de la pyramide est constante. — Considérer le cas où le pied de la perpendiculaire élevée à la base est extérieur à cette base.

662. Étanl données les quatre hauteurs d'un t(^.traèdre et les distances d'un point à trois des faces, déterminer la distance de ce point à la quatrième face.

663. Quelle est la différence des volumes d'un tronc de pyramide à bases parallèles et d'un prisme de même hauteur ayant pour base la section faite dans le tronc de pyramide à égale distance de ses bases?

664. Quand, dans un tétraèdre, sur les trois couples d'arêtes opposées, deux sont formés d'arêtes perpendiculaires, la même condition est remplie par le troisième couple.

665. Dans un tétraèdre , on peut considérer les six angles dièdres formés par les quatre faces prises deux à deux, et les douze angles formés par les six arêtes avec les deux faces auxquelles elles se terminent. Ceci posé, dans tout tétraèdre où les arêtes opposées sont perpendiculaires entre elles :

1° La somme des dix-huit angles indiqués est constante et égale à douze angles droits;

%^ Les hauteurs se croisent en un même point ;

3° Les plus courtes distances des arêtes opposées se croisent au point de rencontre des hauteurs.

666. Étant donné un tétraèdre SABG, on construit sur les faces SAB, SBC, SÀC, trois prismes triangulaires quelconques dont les bases supérieures se rencontrent en 0; sur la base ABC du tétraèdre, on construit alors un quatrième prisme triangulaire en prenant ses arêtes latérales égales et parallèles à la droite SO : démontrer que le volume de ce dernier prisme est équivalent à la somme des volumes des trois premiers prismes. ( ^o/r l'exercice 416.)

667. La base d'une pyramide régulière étant un hexagone de 3 mètres de côté, calculer la hauteur de cette pyramide, sachant que son aire latérale est dix fois Taire de sa base.

668. Mener un plan parallèle à la base d'un tétraèdre donné, de manière que ce plan détermine un autre tétraèdre dont l'aire totale soit la moitié de celle du tétraèdre donné.