LIVHE VI. — LES POLYÈDRES

631 . Les plans menés perpendiculairement sur les milieux des arêtes d'un tétraèdre se rencontrent en un même point.

632. Les plans bissecteurs des angles dièdres d'un tétraèdre se rencontrent en un même point.

633. Les perpendiculaires élevées sur chaque face d'un tétraèdre par le centre du cercle circonscrit à la face considérée se rencontrent en un même [)Oint.

634. Les droites qui joignent les sommets d un tétraèdre aux points d'intersection des médianes des faces opposées se rencontrent en un même point, situé au quart de chacune de ces droites à partir de la face correspondante.

6^5. Les trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées d'un tétraèdre se coupent mutuellement en parties égales.

636. Trouver dans l'intérieur d'un tétraèdre un point tel, qu'en le joignant aux quatre sommets, on décompose ce tétraèdre en quatre tétraèdres équivalents.

637. Si l'on prend un point 0 dans l'intérieur d'un tétraèdre SABC, et si l'on prolonge les droites SO, AO, BO, CO, jusqu'à la rencoptre des faces opposées en s^ a, by c, on a la relation

Os Oa 06 Oc

Ss "^ A«"^ Bb'^ ilc "'•

638. Si l'on coupe un prisme ou une pyramide par un plan non parallèle à la base, et si Ton prolonge les côtés de la section jusqu'à la rencontre des côtés correspondants de la base, les points d'intersection obtenus sont en ligne droite.

639. Étant données les faces d'un tétraèdre, trouver, en ne se servant que du compas, la longueur de la hauteur du tétraèdre et le pied de cette hauteur sur le plan de la base.

640. Deux tétraèdres qui ont un angle trièdre égal, sont entre eux comme les produits respectifs des arêtes qui comprennent cet angle. — ■ En déduire la première partie du théorème du n"* 684.

641. Deux tétraèdres qui ont une arête égale et les angles dièdres correspondants à cette arête égaux chacun à chacun, sont entre eux comme les produits des faces qui comprennent le dièdre égal.

642. Le plan bissecteur de l'angle dièdre d'un tétraèdre partage l'arête opposée en deux segments proportionnels aux faces qui comprennent l'angle dièdre. — Considérer le plan bissecteur de l'angle dièdre e.\térieur.

043. Soient le tétraèdre SABC et le point 0 où la droite SO également incUnée sur les trois faces latérales (voir la question 584] rencontre la

base ÂBC; démontrer que les triangles OAB, OBG, OâC; sont proporiionnels aux faces latérales correspondantes.

644. Le plan déterminé par une arête d'un tétraèdre et le milieu de Tarète opposée partage ce tétraèdre en deux tétraèdres équivalents.

645. Si par la droite DE, qui joint les milieux de deux arêtes opposées SA, BC, d'un tétraèdre SABC, on mène un plan quelconque qui coupe l'arête SB en F et l'arête AC en G, la droite FG est divisée par la droite DE en deux parties égales.

646. Tout plan conduit par les milieux de deux arêtes opposées d'un tétraèdre le partage en deux volumes équivalents.

647. On donne une droite sur l'une des faces d'un tétraèdre, et J'en demande de mener par cette droite un plan qui détermine avec les faces de ce tétraèdre un autre tétraèdre qui soit au premier dans un rapport donné.

648. On donne une droite sur l'une des faces d'un angle trièdre, et Ton demande de mener par cette droite un plan qui ferme l'angle trièdre en déterminant un tétraèdre de volume déterminé.

649. Quelle est la différence des volumes d'un tronc de pyramide à bases parallèles et d'un prisme de même hauteur ayant pour base la demi-somme des bajses du tronc de pyramide? — Quelle erreur commet-on en remplaçant l'un des volumes par l'autre, pour une hauteur de 6 mètres et pour des bases du tronc de pyramide égales à 3"'», 76 et à a™'', 85?

650. Mener, parallèlement à une droite donnée ou par un point donné, un plan qui partage un tétraèdre donné en deux parties équivalentes.

654. Trouver l'expression du volume d'un tronc de pyramide quelconque à bases parallèles, en le décomposant en troncs de pyramide triangulaires.

652. Démontrer que le volume d'un tronc de parallélipipède quelconque a pour mesure le produit de sa section droite par la moyenne arithmétique des quatre arêtes latérales.

653. Les arêtes latérales d'une pyramide triangulaire SABC ont pour longueurs L, M, N; on coupe relie pyramide par un plan abc non parallèle à la base, qui rencontre les arêtes latérales à des distances du sommet égales à /, w, n : trouver le volume du tronc de pyramide ainsi déterminé.

654. On donne deux tétraèdres SABC, S'A'B'C, tels, que les droites qui unissent les sommets correspondants concourent en un même point; démontrer que, si les faces correspondantes des deux tétraèdres se coupent, les quatre droites d'intersection sont dans un même plan.