LIVRE VU. — LES GOBPS BONDS

fixe XSX' qu'elle rencontre en un point S, et à laquelle elle est invariablement liée (Jig. Sgi).

La droite fixe XX' reçoit le nom d'axe de la surface, et la droite mobile GG' celui de génératrice ou d'arête. Le point S, qu'on nomme 5om/ne/, sépare la surface conique en deux parties indéfinies qu'on appelle nappes.

Le lieu géométrique des droites qui, passant par un point donné S, font un angle donné a avec une droite donnée D, est une surface conique de révolution ayant le point S pour sommet et pour axe la parallèle menée à D par le point S.

Un point quelconque A de la droite GG' décrit une circonférence dont le centre est sur Taxe, et dont le plan est perpendiculaire à l'axe (723). Par suite, toutes les sections faites par des plans perpendiculaires à l'axe sont des circonférences dont le lieu des centres est l'axe lui-même. Quant aux rayons OA, O'A', de ces cercles, la similitude des triangles SOA,SO' A', prouve qu'ils sont proportionnels aux distances SO, SO', de leurs plans au sommet, ou encore aux portions correspondantes SA, SA', de la génératrice SGG'. Leurs aires sont donc proportionnelles aux carrés des mêmes lignes.

738. Considérons "une droite fixe XSX', un plan P passant par un point S de cette droite, et désignons. par <x l'angle de la droite et du plan, c'est-à-dire l'angle aigu de la droite SX avec sa projection SA sur ce plan (fig. 392). Par le point S, on peut mener dans le plan P (537) deux droites SB, SC, faisant avec SX un angle aigu doifhé &). Ces deux droites sont sy-

l44- GÉOMÉTRIE DANS l' ESPACE.

métriques par rapport à A.V. Il en est ainsi tant que w est supérieur à a; lorsque o) devient égal ou inférieur à a, les deux droites se réduisent à la droite unique SA ou cessent d'exister. D'après cela, un plan passant par le sommet d'une surface conique de révolution renferme deux génératrices de cette surface, ou une seule, ou enfin n'a de commun avec la surface que le sommet, suivant que l'inclinaison du plan sur Taxe est inférieure, égale ou supérieure à Tangle aigu de la génératrice avec Taxe, c'est-à-dire au demi-angle au sommet de la syrface conique.

Fie. 393.

Dans le cas où le plan donné n*a de commun avec la surface qu'une seule génératrice SA (fig* 393 ), on peut le considérer comme la position limite d'un plan variable qui, passant par la génératrice fixe SA, et par une génératrice voisine SA% tourne autour de SA jusqu'à ce que SA' vienne se confondre avec SA. On voit dès lors, par un raisonnement identique à celui qu'on a fait pour le cylindre (725), que ce plan renferme les tangentes AM, BN, . . . à toutes les courbes A A', BB', . . . que l'on peut tracer sur la surface, aux points A, B,. . ., où la génératrice SA rencontre ces courbes. On donne à ce plan le nom de plan tancent suivant la génératrice SA.

La génératrice SA et la tangente à une courbe quelconque tracée sur la surface au point où cette courbe rencontre SA, suffisent pour déterminer le plan tangent suivant cette génératrice. Si l'on choisit en particulier la tangente AM à une sec-

LITRE VU. — LES CORPS RONDS. l4^.

lion AA' perpendiculaire à Taxe, on voit, comme pour le cylindre (725), que le plan tangent est perpendiculaire au plan déterminé par l'axe et la génératrice de contact,

739. On nomme cône de révolution le corps engendré par la rotation' d'un triangle rectangle SOA autour de Tun des côtés SO de Tangle droit SOA (fig. 394).

La surface conique engendrée par Thypolénuse SA est la surface latérale du cône ; le cercle décrit par le côté- OA est la hase, la droite SO est la hauteur, et l'hypoténuse SA est le côtéow y apothème de ce cône.

Fig. 394.

74.0. Si Ton coupe une surface conique de révolution (fig. 394) par deux plans AB, A'B', perpendiculaires à Taxe et situés d'un même côté du sommet S, on obtient un volume terminé par une portion de la surface conique, et par les deux cercles AB, A'B'. Ce corps, que* l'on nomme tronc de cône de révolution à bases parallèles^ est la différence des deux cônes SAB, SA'B'. On peut encore le considérer comme engendré par la rotation du trapèze rectangle AOO' A', autour du côté 00'. La droite 00' est la hauteur du tronc; les cercles AB, A'B', en sont les bases, et AA' en est le côté ou V apothème.

En coupant une surface conique de révolution par deux plans AB, Â, B,, perpendiculaires à l'axe, mais situés de part et d'autre du sommet S (fig, 394) on obtient un corps qui est la somme des deux cônes SAB, Sâ,B^. Il convient de donner encore à ce corps le nom de tronc de cône; mais, pour le distinguer du tronc de cône proprement dit, que nous avons défini dans l'alinéa précédent, nous l'appellerons tronc de cône ele seconde espèce (6S0).

t46. géométrir dans l'espace.

741. En construisant une pyramide de même sommet que le cône, et ayant pour base un polygone inscrit ou circonscrit au cercle de base du cône, on obtient une pyramide inscrite ou circonscrite au cône {fig* ^gS). Le plan de chaque face latérale de la pyramide circonscrite est tangent au cône. Si le polygone de base est régulier, la pyramide inscrite ou circonscrite est régulière.

On appelle aire latérale d'un cône la limite de Taire latérale d'une pyramide régulière inscrite dont le nombre des faces croît indéfiniment. On légitime celte définition en montrant que la limite considérée existe et est indépendante de la loi suivant laquelle les côtés de la base de la pyramide tendent vers zéro. Le raisonnement est analogue à celui qu'on a employé pour le cylindre (727); seulement, tandis que la hauteur du prisme inscrit au cylindre reste fixe, l'apothème de la pyramide régulière inscrite au cône est variable et tend vers l'apothème du cône.

On démontre, 'absolument comme dans le cas du cylindre, que le volume d*un cône de révolution est la limite commune des volumes des pyramides régulières de bases semblables inscrite et circonscrite dont on fait croître indéfiniment le nombre des faces,

742. Deux cônes de révolution sont dits semblables lorsqu'ils sont engendrés par des triangles rectangles semblables, c'est-à-dire lorsque leurs hauteurs sont entre elles comme les rayons des bases.

THÉORÈME

743. L'aire latérale d'un cône de révolution a pour mesure le produit de la circonférence^ de sa base par la moitié de son apothème.

L'aire latérale du cône est la limite des aires latérales des pyramides régulières inscrites dont le nombre des faces croît indéfiniment. D'après cela, soient S, C, A, Taire latérale, la circonférence de base et l'apothème du cône considéré, et j, p, a, l'aire latérale, le périmètre de la base et l'apothème d'une pyramide régulière inscrite. On a (64.0)

Lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de la