LIVRR VII. — LES CORPS RONDS. I
ment spliérique en lournanl aulour du diamètre :r/(802). Ce segment est donc la somme des volumes engendrés par le
Fig. 429. Fig. 430.
segment circulaire AmB et le trapèze rectangulaire DABF. On a d'abord (813)
vol.AmB— pttÂb'.DF.
Le trapèze DABF engendrant un tronc de cône de révolution, on a aussi (764)
vol.DABF= ^ ttDF (bf' -h Âb' -h BF.AD) •
Par suite,
vol.DAmBF^: g rDF (ab' -f- 2Bf' -f- 2 Ad' -h 2BF. AD) •
D'ailleurs, la corde AB est liée à la hauteur DF et aux rayons BF et Al) des bases du segment sphérique par la relation
Âb' =z AË V BÊ' = Df' -f- (BF- AD)»
ou
AB'i^DF' -h Bf' -f- Âd' - 2BF. AD.
En substituant cette valeur de AB cl en simplifiant, il vient
vol.DAmBFzrr ^ ttDfCdf' -f- 3Bf' -f- 3ÂÏ)'),
ce qu'on peut écrire
vol.DAmBF = i ttDF' + 1 (ttBf'.DF h- r aId* . DF) , o 2
de manière à vérifier l'énoncé (809, 734).
Si le segment considéré n'a qu'une base, c'est-à-dir^ si (^'g-, 430) le point D vient occuper l'une des extrémités du
l8o. GÉOMÉTRIE DANS l'kSPAGB.
diamètre xfy on a simplement
vol .DmBF = \ ttDF -f- i t: BF'.DF.
SCOLIE
815. Quand le segment sphérique n'a qu'une base {•fig. 4^o}, on peut exprimer son volume V en fonction de sa hauteur DF = /i et du rayon R de la sphère. On a alors, d'après la formule précédente,
V = g7rA»-f-g7rBF'.A.
D'ailleurs (223),
Bf'=zA(2R A), d'où
V = i7:A»-f--7:A'(aR— A) b 3
ou, en simplifiant,
(i) V = 7rA'(R-iAy
On peut trouver directement cette formule, en regardant le segment à une base comme la somme ou la différence du secteur sphérique terminé à la même calotte sphérique et du cône de révolution qui, ayant la même base que le segment» a son sommet au centre de la sphère. Le segment sphérique est la somme ou la différence des deux volumes indiqués, sui* vant qu'il est plus grand ou plus petit que la demi-sphère.
Dans le premier cas (yïg. 4^o}> o" ^
V = I ttR'A - - 7rBF'(R - A);
dans le second (même figure),
V = |7rR'A-f- j7rBF'(A-R).
Ces deux formules sont identiques, puisque BF a toujours la nlême expression ; et, en les simplifiant, on retrouve la formule (i).
LIVRB Vil. — LBS CORPS RONDS. l8l .
Voici une appiicdtîon numérique :
Calculer le volume du segment sphérique à une base de o", i de hauteur dans la sphère de i mètre de rayon.
La formule (i) donne
V = ^7:.o,oi.2,9= 0^*^,091 106 à 1 cenlimèlre cube près.
