VI. - PROPRIÉTÉS DES TRIANGLES SPHÉRIQUES

DÉFINITIONS

816. On appelle polygone sphérique la portion de surface sphérique ABCDE comprise entre plusieurs arcs de grand cercle. Ces arcs AB, BG, CD, DE, EA, isont les côtés du polygone; les angles ABC, BCD,..., qu'ils forment et les sommets B, C,. . ., de ces angles sont les angles et les sommets du polygone (/g^. 43i).

FijT. 43 1.

Un polygone sphérique est dit convexe lorsque chaque côté prolongé laisse tout le polygone dans le même hémisphère.

Chaque côté d'un polygone sphérique convexe est moindre qu'une demi^-circonférence de grand cercle. Car, si le côté AB, par exemple, était plus grand qu'une demi-circonférence, on pourrait prendre sur AB, entre A et B, un point 1, tel que AI fût égal à une demi-circonférence; dès lors, le grand cercle auquel appartient le côté AE passerait par le point I (765)^ et le polygone ne serait pas tout entier dans l'un des deux hémisphères déterminés par ce grand cercle AE.

l82. GiOMÉTRIE DANS l' ESPACE.

Un polygone sphérique convexe ne peul^lre rencontré en plus de deux points par un arc de grand cercle (73).

817. Le polygone sphérique le plus simple est le triangle sphérique; c'est la portion ABC de la surface de la sphère comprise entre trois arcs de grand cercle AB, BC, CA, qui sont chacun moindres quune demi -circonférence. D*après cela, un triangle sphérique est toujours convexe [Jig» ^Zt,),

On pourrait admettre des côtés qui surpasseraient la demicirconférence, et appeler'encore triangle sphérique la figure formée par des arcs tels que AB, AC, BDG, dont le dernier est supérieur à une demi-circonférence. Mais d*abord cela serait incommode, parce que ces nouvelles figures présenteraient des angles tels que A qui surpasse deux angles droits; et ensuite cela est inutile, car la connaissance des éléments du triangle sphérique proprement dit ABC entraîne celle de tous les éléments de la figure formée par les arcs AB, AC, BDC.

Un triangle sphérique est isocèle, équilaléral, rectangle, dans les mêmes circonstances qu'un triangle rectiligne (27).

818. En joignant les sommets d'un triangle sphérique ABC {Jig. 434J au centre 0 de la sphère, on forme un angle trièdre OABC, dont les faces OAB, BOC,.-.., ont la même mesure ( 136) que les côtés correspondants AB, BC,..., du triangle sphérique, et dont les angles dièdres OA, OB,. . . , ont la même mesure (761) que les angles A, B,. . .,dece triangle. La même remarque s'étend à un polygone sphérique ABCD (Jig. 433) et à l'angle polyèdre correspondant OABCD.

D'après cela, à chaque propriété des angles trièdres ou po^ lyèdres répond une propriété analogue des triangles ou poly-^ gones sphériqnes; et, pour énoncer cette propriété, il suffit