x"* Le diamètre est la plus grande coi^e du cercle

2« Tout diamètre AB divise la circonférence et le cercle en deux parties égales [fig. 67 ).

En effet :

!• Une corde quelconque CD est moindre que la somme OC-f-OD des deux rayons qui aboutissent à ses extrémités; elle est donc moindre qu'un diamètre.

2» Si Ton plie la figure autour d'un diamètre AB, un rayon quelconque OC de la partie supérieure prendra la direction du rayon OC qui fait de Tautre côté de AB un angle C'OA égal à l'angle COA; et à cause de Tégalité des rayons, le point C de l'arc supérieur AGB tombera en C sur l'arc inférieur AHB, Ces deux arcs AGB, AHB, se recouvrant exactement, sont

S4 «ÉOMÉTRIE PLANE.

dooc égaux ainsi que les espaces compris entre chacun d'eux et le diaaiètre AB.

98. Une corde quelconque CD, autre qu'un diamètre, divise d'après cela la circonférence en deux arcs inégaux, l'un CGD moindre que la demi-circonférence, l'autre CHD plus grand. On dit que la corde CD sous-tend ces deux arcs. Toutefois, quand nous parlerons de l'arc sous-tendu par une corde CD, il faudra toujours entendre, à moins d'avertissement contraire, qu'il s'agit du plus petit des deux arcs correspondant à cette corde.

09. Dans un même cercle ou dans des cercles égaux : I** Deux arcs égaux sont sous-tendus par des cordes égales; 2® De deux arcs inégaux, le plus grand est sous^ tendu par la plus grande corde (Jig. 68).

Fig. 68.

Soient 0 et I deux cercles égaux :

i« Si l'arc AMB est égal à l'arc CND, les cordes AB et CD seront égales. En effet, portons le cercle I sur le cercle 0 de manière que le rayon IC coïncide avec son égal OA, I étant en 0 et C en A. Les circonférences coïncideront, l'arc CND tombera sur son égal AMB, et le point D viendra en B. La corde CD s'appliquera donc sur la corde AB, et, par suite, lui sera égale.

2* Si l'arc AMH est plus grand que l'arc CND, la corde AH sera plus grande que la corde CD. £n effet, prenons «^ partir du point A, sur l'arc AMH, un arc AMB égal à l'arc CND; les cordes AB, CD, seront égales (i"), et il restera à démontrer que la corde AB est moindre que la corde AH. Or, l'arc AMB étant moindre que l'arc AMH, le point B tombe entre les points A et H, et l'angle AOB est inférieur à l'angle AOH. Par suite, les

L1V1B II. — LA GlRCONFftEBNGB DB GBRGLB. 55

deux triangles AOB, AOH, ont un angle inégal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, savoir OA commun et OB = OH comme rayons d'un même cercle. Donc (33) le côté AB opposé à l'angle AOB est moindre que le côic AH opposé à l'angle AOH.

100. Du théorème qu'on vient de démontrer et du principe général du n? kO il suit que :

RECIPROQUEMENT, dans un même cercle ou dans des cercles égaux, à des cordes égales répondent des arcs égaux ^ et à une plus grande corde répond un plus grand arc,

101. Nous n'avons considéré dans ce qui précède que des arcs moindres qu'une demi-circonférence (98). Si l'on considérait des arcs plus grands qu'une demi-circonférence, pour la seconde partie du théorème les conclusions seraient in« verses : l'arc augmentant, la corde diminuerait au lieu de croître.

THÉORÈME

102. Le diamètre AB, perpendiculaire sur une coixle CI) divise cette corde et les deux arcs CBD, CAD, qu 'elle sous-tend, chacun en deux parties égales {Jig, 69).

Fi*'. 60.

En effet, soient 0 le centre de la circonférence et 1 le point de rencontre du diamètre AB et de la corde CD. Les rayons OC, OD, étant, par rapport à la perpendiculaire 01, deux obliques égales, s'écartent également du pied de cette perpendiculaire. On a donc CI =: ID. En d'autres termes, la corde CD est divisée au point I en deux parties égales. Dès lors, AB étant perpendiculaire sur le milieu de CD, tout point de AB, et en particulier le point B, est équidistant des points C et D. Les cordes

56 GtOMÉTRIB PLANE.

BC et BD sont donc égales, et, par suite, les arcs BC et BD sont aussi égaux. En d*autres termes, l*arc CBD est divisé au point B en deux parties égales. On démontrerait de même que Tare CAD est aussi divisé en deux parties égales au point A.

Corollaires.

103. La droite AB satisfait, d'après cela, aux cinq conditions suivantes : elle passe par le centre 0, par le milieu I de la corde CD, et par les milieux A et B de chacun des arcs que celte corde sous-tend ; elle est enfin perpendiculaire sur la corde CD. Or, deux de ces cinq conditions suffisenl pour déterminer la droite AB; car on sait que, par deux points, on ne peut mener qu'une droite, et que par un point on ne peut mener qu'une perpendiculaire sur une droite. Donc, toute ligne droite assujettie à deux des cinq conditions énoncées remplira nécessairement les trois autres. De là une série de propositions que le lecteur énoncera sans difficulté, et parmi lesquelles nous ne citerons que les suivantes : La perpendiculaire élevée sur le milieu d'une corde passe par le centre et par le milieu de chacun des arcs que cette corde sous-tend.

Le lieu géométrique des milieux d'un système de cordes parallèles est le diamètre perpendiculaire à la direction commune de ces cordes.

THÉORÈME