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Les raisonnements sont identiques à ceux de la Géométrie plane (IIS, 119,120,121,122).

11 y a cependant une condition de plus à laquelle les quantités D, R et r, doivent satisfaire dans tous les cas. Quelle que soit la position relative des deux cercles, on a toujours

D-hR-hr<4,

en prenant le quart d'un grand cercle pour unité de longueur.; en effet, D est toujours moindre que a, et R et r sont Tun et l'autre inférieurs à i . Ainsi la distance spltérique des deux pâles et les rayons sphériques des deux cercles ont une somme moindre qu'une circonférence de grand cercle.

THÉORÈME

849. Ia: lieu géométrique des sommets C des triangles sphériques qui ont une base commune DE et dans lesquels la différence entre l'angle aa sommet C et la somme D -h E des angles h la base est constante, est un arc de petit cercle qui passe par les points D tf/ E {fig. 45o).

Fig. 45o.

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En effet, DEC étant l'un des triangles satis&isant à la question, et P le pôle du petit cercle circonscrit à ce triangle, les triangles PDG, PGE, FED, sont isocèles ; par suite, la différence (D -h E) — G est égale à la somme des angles PDE + FED, c'esUà-dire au double de Tun des angles PDE, PED. Ces derniers angles sont donc constants; il résulte de là que le triangle DPE est fixe ainsi que le point P, et que la dislance PC == PD est constante, d'où Ton conclut que le sommet C est toujours sur le cercle décrit du point P comme pôle avec un rayon sphérique égal à PD.

Ce théorème est l'analogue de celui du n** 143 de la Géométrie plane. En effet, lorsque dans un triangle rectiligne CDE on donne l'angle C, on donne par cela même la somme D -h £ des deux autres et, par suite, la différence D -h E — C.

Corollaire.

S50. Le lieu géométrique des sommets C des triangles spfiériques de même base ^A et de même aire y est un arc tle petit cercle passant par les points E et H diamétralement opposés aux extrémités k et ^ de la base

(fis- 45o).