LIVRE Yll. — LES CORPS RONDS. ail

une courbe ANB située sur la surface, au point N où cette courbe rencontre la génératrice, est le même, quelle que soit la courbe considérée [Jig, 4^9).

|] suffit de prendre une seconde courbe CMD sur la surface coupant la génératrice SN au point M, et de prouver que le plan SNT renferma la tangente MR menée par le point M à cette courbe. Or, le plan NSN\ mené par la génératrice SMN et une génératrice voisine SM'N', a pour limite SNT, puisque la corde NN' tend vers la tangente NT. D'ailleurs, quand N' vient en N, M' vient en M, et les sécantes NN', MM', deviennent en même temps les tangentes NT et MR; comme les sécantes MM', NN', sont sans cesse contenues dans le plan SNN', on voit que le plan SNT renferme la tangente MR;

Ce plan SNT est dit le plan tangent au cône ou ctu cylindre suivant la génératrice SN.

Corollaire.

862. En supposant que la courbe ANB soit plane, on arrive à ce théorème : La tangente NT à la projection ou à la perspective ANB d'une courbe CMD, est la projection ou la perspective de la tangente MR d cette courbe (588).

Ce corollaire souffre toutefois une exception, lorsque la tangente de l'espace est elle-même une des droites projetantes. La projection ou la perspective de la tangente se réduit alors à un point, tandis que la tangente de la projection ou de la perspective est une droite bien déterminée; c'est la trace sur le plan de projection du plan tangent au cylindre ou au cône projetant, suivant la génératrice qui coïncide avec la tangente de l'espace.

Iti: 6Ê0HÉTR1B DANS L* ESPACE.

THÉORÈME

863. Le lieu des tangentes menées par an point d'une surface' aujc dtverses courbes que l'on peut tracer par ce point sur la surface y est un plan.

Fig. 460.

Soient M le point donné, ÂMÂ' une section plane passant par ce point, e( BB', ce,. . ., des sections voisines faites par des plans parallèles au premier {fig. 460). Si Ton prend sur ces courbes les points P, Q,. . ., où la tangente est parallèle à MT, on obtiendra une courbe continue MPQ,. . ., située sur la surface. Soit MU la tangente à cette courbe au point M ; tout se réduit à prouver que le plan TMU renferme la tangente MV à une courbe quelconque MG tracée par M sur la surface.

Or, soit M' le point où la courbe MG rencontre la section BPB'; menons les cordes MP, MM', et projeions, parallèlement à MP, sur le plan de la première section AMA', la section BPB'; la courbe MM.B, ainsi obtenue sera tangente en M à MT. En effet, la tangente à la projection MM, B, doit être la projection de la tangente PS à la courbe de Tespace BPB' (862), et la projection de PS, parallèlement à MP, est précisémont MT, puisque, par hypothèse, PS et MT sont parallèles. Cela étant, si M, est la projection de M', le plan M, MP des deux cordes Ml^f , et MP renferme sans cesse la corde MM'; par suite, la tangente MV sera contenue dans le plan limite de M, MP; or ce plan n'est autre que TMU, puisque les cordes MM, et MP ont respectivement pour limites les tangentes MT et MU.

Ce plan, lieu des tangentes aux diverses courbes que Ton peut mener par le point M sur la surface, prend le nom de plan tangent de la surface au point M.

SCOLIES

864. La normale à une surface au point M est la perpendiculaire au plan tangent en ce point.

865. Le plan tangent en un point d'une surface est déterminé par les tangentes à deux courbes quelconques menées par ce point sur la surface.

LITRE VU. — LES CORPS RONDS. 1l3i

866. Dans toute surface réglée, c'est-à-dire engendrée par une ligne droite, le plan tangent en un point contient la génératrice qui passe par ce point; il est alors déterminé par cette génératrice et par la tangente à une courbe quelconque menée par ce point sur la surface. Ce plan tour/ie en général autour de la génératrice. 11 est pourtant une classe de surfaces réglées, pour lesquelles le plan tangent est le même tout le long de la génératrice, comme cela arrive (861) pour les cônes et les cylindres. Ces surfaces sont dites developpablcs, tandis qu'on appelle gauches les surfaces réglées qui ne jouissent pas de cette propriété. Les surfaces développables sont ainsi nommées parce qu'on peut les étendre sur un plan sans les déchirer ni les replier. Considérons, en effet, une surface telle, que les plans tangents soient les mêmes le long de chaque génératrice, c'est-à-dire ne changent qu'en passant d'une génératrice à l'autre : l'ensemble des plans tangents, suivant les diverses génératrices, formera une surface polyédrique circonscrite, qui a pour limite la surface considérée. Or cette surface polyédrique peut être, étendue sur un plan, en faisant tourner chaque face plane autour d'une arête, de manière à la rabattre sur le plan de la face précédente; et comme cette propriété a lieu, quelque rapprochées que soient les génératrices, il en est de même à la limite pour la surface considérée.

867. Le plan tangent à une surface peut laisser la surface tout entière d'un seul côté ; il y a alors un point de contact unique ou une ligne de contact; le premier cas se présente, par exemple, pour la sphère, le second pour le cylindre et le cône à base circulaire. Le plan tangent peut aussi couper la surface, et la section est alors une courbe à nœud : c'est ce qui arrive, par exemple, en un point de la gorge d'une poulie.

868. Enfin, nous devons observer que le théorème précédent (863) cesse parfois d'être vrai en certains points singuliers, tels que le sommet d'un cône; en ce point, le lieu des tangentes forme, non pas un pian, mais la surface conique proposée. Il en est de même au point d'une surface de révolution situé sur l'axe, lorsque la méridienne rencontre cet axe sous un angle différent de 90 degrés. Ajoutons cependant que, si un point décrit sur la surface d'un cône une courbe bien déterminée et aboutissant au sommet, le plan tangent au cône en chacune des positions du mobile sur sa trajectoire est parfaitement déterminé, et il Test encore au moment où le mobile atteint le sommet du cône; c'est le plan tangent suivant la génératrice qui touche au sommet la courbe considérée.

869. Le plan tattgent en un point M d'une surface de révolution est perffendiculaire au plan méridien ZOM qui passe par le point de contact

En effet, le plan tangent en M contient la tangente MT au parallèle

2l4* GfiOHtTftIl DANS l' ESPACE.

OM, et cette tangente MT est perpendiculaire au plan méridien ZOM, comme étant à angle droit sur les deux droites OM et OZ de ce plan.

Fig. 461.

Corollaires.

^0. La normale MS à la surface au point M est contenue dans le plan méridien ZOM (864). Le point S, où elle rencontre Taxe ZZ,, est d'ailleurs le même pour toutes les normales qui répondent aux divers points d*un même parallèle; d'où Ton conclut que les normales menées à une surfùce de révolution par les dwers points d'un parallèle^ forment un cône fie révolution qui a son sommet S sur Vaxe de la surface. Les tangentes atix différents méridiens en des points situés sur un même parallèle, forment aussi un cône de révolution qui est circonscrit à la surface et qui a son sommet S, sur l'axe de cette surface. L'angle S, MS, qui mesure Tangle des plans tangents aux deux cônes au point M, est droit ; les deux cônes sont donc orthogonaux.

THÉORÈME

871. Dans le cône oblique à base circulaire, toute section anti- parallèle à la base est un cercle.

Soit (Jig. 462) S le sommet d'un cône oblique ayant pour base le cercle 0. On nomme plan principal le plan S.AB mené par la droite qui joint le sommet S au centre 0 de la base, perpendiculairement au plan de cette base; on dit qu'un plan CMD est anti-parallèle à la base, lorsqu'il est perpendiculaire sur le plan principal SAB et que sa trace CD sur ce plan prin* cipal est anti-parallèle à AB par rapport à l'angle ASB (195). Il s'agit de prouver que la section CMD est un cercle.

Par un point quelconque M de la section, menons un plan parallèle à la base; ce plan coupera le cône suivant un cercle A'MB^ (8S8) décrit sur A'B' comme diamètre, et le plan CMD

LIYRE VII. — LES CORPS BONDS. ai5.

suivant une droite MP perpendiculaire au plan principal (561 ). Or, dans le cercle A'MB% on a (223)

JSÏP'=PA',PB'.

D'ailleurs, les triangles PCA', PDB', sont semblables comme ayant leurs angles égaux; ils donnent